Longueur d’onde de de Broglie : λ = h/p

Louis de Broglie a proposé d’associer une longueur d’onde à une particule de quantité de mouvement p. Cette relation constitue l’un des liens fondamentaux entre descriptions ondulatoire et corpusculaire.

La matière possède aussi une longueur d’onde

La relation de de Broglie associe une longueur d’onde à la quantité de mouvement

Pour une particule de quantité de mouvement p, la longueur d’onde de de Broglie vaut λ = h/p. Dans le régime non relativiste, p = mv et l’on peut écrire λ = h/(mv). Plus la quantité de mouvement est grande, plus la longueur d’onde associée est petite.

p faible

λ est plus grande : le caractère ondulatoire peut devenir plus facile à mettre en évidence.

p élevée

λ devient très petite et les effets de diffraction sont difficiles à observer à notre échelle.

Exemple : électron à 1,0 × 10⁶ m/sAvec mₑ ≈ 9,109 × 10⁻³¹ kg, p ≈ 9,109 × 10⁻²⁵ kg·m/s et λ ≈ 7,27 × 10⁻¹⁰ m, soit 0,727 nm. Cette échelle est comparable aux dimensions atomiques.

Pourquoi une balle ne semble pas onduler

Pour un objet macroscopique, la masse et donc la quantité de mouvement sont énormes par rapport à celles d’un électron. Sa longueur d’onde de de Broglie devient extraordinairement petite : elle reste physiquement définie mais ses effets ondulatoires sont impossibles à distinguer dans les situations ordinaires.

Ordres de grandeur

Électron rapide

λ peut être de l’ordre du nanomètre ou moins.

Objet macroscopique

λ est si minuscule que la description classique devient une excellente approximation.

Diffraction des électrons

Le caractère ondulatoire de la matière n’est pas une simple analogie. Des électrons produisent des figures de diffraction lorsqu’ils interagissent avec des structures dont les espacements sont comparables à leur longueur d’onde. Cette propriété est exploitée en diffraction électronique et en microscopie électronique.

Calculez la quantité de mouvement p.
Utilisez λ = h/p.
Vérifiez les unités : h s’exprime en J·s.
Si la vitesse approche celle de la lumière, utilisez une expression relativiste de p.

Erreur fréquenteLa relation λ = h/(mv) n’est valable sous cette forme que lorsque l’approximation non relativiste pour p est suffisante.

Références vérifiées : constante de Planck du SI/BIPM et formulation de la relation de de Broglie.

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La relation de de Broglie

λ = h/p, où λ est la longueur d’onde, h la constante de Planck et p la quantité de mouvement. Pour une particule non relativiste de masse m et vitesse v, on peut écrire p ≈ mv.

Pourquoi ne voit-on pas l’onde d’une balle ?

Pour un objet macroscopique, la quantité de mouvement est énorme à l’échelle de h ; la longueur d’onde associée devient donc extraordinairement petite. Les effets ondulatoires sont alors impossibles à observer dans les conditions ordinaires.

Électrons et diffraction

Pour des électrons, la longueur d’onde peut être comparable aux distances entre atomes dans un cristal. La diffraction électronique fournit ainsi une manifestation directe du comportement ondulatoire de la matière.

Une relation générale

La formule λ = h/p reste valable au-delà de l’approximation p = mv. À grande vitesse, il faut utiliser l’expression relativiste correcte de la quantité de mouvement.

Attention : associer une longueur d’onde à une particule ne signifie pas qu’elle soit une petite onde classique étendue dans l’espace. La mécanique quantique demande une description plus complète par l’état quantique.