तरंगें

तरंग किसी विक्षोभ या दोलन पैटर्न का स्थान और समय में प्रसार है। वह ऊर्जा और सूचना ले जा सकती है, जबकि माध्यम के कण—यदि माध्यम आवश्यक हो—आमतौर पर तरंग के साथ पूरी दूरी तय नहीं करते।

तरंग की बुनियादी राशियाँ

आवृत्ति f प्रति सेकंड चक्रों की संख्या है और hertz में मापी जाती है। अवधि T एक चक्र का समय है: T = 1/f। तरंगदैर्घ्य λ समान phase के पड़ोसी बिंदुओं की दूरी है। यदि पैटर्न वेग v से चलता है तो v = fλ।

v = fλ पहचान है, लेकिन कौन-सी राशि source और medium से तय होती है यह समस्या पर निर्भर है। किसी सीमा पर wave frequency सामान्यतः स्रोत से सतत रहती है, जबकि speed बदलने पर wavelength बदलती है।

अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य

अनुप्रस्थ तरंग में स्थानीय दोलन propagation direction के लंबवत हो सकता है; stretched string और electromagnetic wave उदाहरण हैं। अनुदैर्ध्य ध्वनि तरंग में pressure/density disturbance propagation direction के समानांतर होती है।

हर तरंग को 'कण ऊपर-नीचे चलते हैं' चित्र से समझना गलत है। जिस physical quantity में disturbance होता है—displacement, pressure, electric field—उसे स्पष्ट करना चाहिए।

साइन तरंग और phase

एक आदर्श traveling wave y(x,t)=A sin(kx−ωt+φ₀) से लिखी जा सकती है। यहाँ k=2π/λ और ω=2πf। Phase बताता है कि oscillation अपने चक्र में कहाँ है। समान phase वाले बिंदु 2π के गुणज से अलग होते हैं।

Amplitude A ऊर्जा से जुड़ी हो सकती है, लेकिन संबंध system-specific है। कई linear waves में intensity ∝ A², इसलिए amplitude दोगुना होने पर intensity चार गुना हो सकती है।

Superposition और standing waves

Linear system में overlapping waves algebraically जुड़ती हैं: y_total = y₁ + y₂। यही interference और standing waves का आधार है। विपरीत दिशाओं में समान frequency/amplitude वाली waves nodes और antinodes वाला standing pattern बना सकती हैं।

Standing wave में pattern आगे नहीं बढ़ता, लेकिन स्थानीय ऊर्जा लगातार kinetic और potential रूपों में बदल सकती है। Boundary conditions केवल कुछ wavelengths/frequencies को अनुमति देती हैं, जिससे normal modes उत्पन्न होते हैं।

Dispersion, attenuation और model limits

यदि wave speed frequency पर निर्भर हो तो medium dispersive है और अलग frequency components अलग गति से चल सकते हैं। Attenuation amplitude को दूरी के साथ घटाती है क्योंकि ऊर्जा absorption या geometric spreading से कम उपलब्ध होती है।

एक ही 'wave speed' को particle speed से न मिलाएँ। रस्सी का कोई बिंदु ऊपर-नीचे तेजी से चल सकता है जबकि disturbance along the rope अलग speed से प्रसारित होता है।

अभ्यास

तरंग संबंध

f=5.0 Hz, λ=2.0 m।

हल: v=fλ=10 m s⁻¹।

अवधि

f=250 Hz।

हल: T=1/f=0.0040 s = 4.0 ms।

सीमा पर

frequency स्थिर, speed आधी।

हल: λ = v/f के कारण wavelength भी आधी होती है।