Druck in Flüssigkeiten und Gasen
Der Druck beschreibt, wie stark eine Kraft auf eine Fläche konzentriert ist. In einem ruhenden Fluid wirkt der Druck in alle Richtungen und nimmt mit der Tiefe zu, weil tiefere Schichten mehr Fluid über sich tragen.
Druck ist Kraft pro Fläche
p = F⊥/A und 1 Pa = 1 N m⁻²
Nur die zur Oberfläche senkrechte Kraftkomponente trägt direkt zum Druck bei. Dieselbe Kraft erzeugt auf einer kleineren Fläche einen größeren Druck – deshalb dringt eine scharfe Nadel leichter ein als ein stumpfer Gegenstand.
In einem ruhenden Fluid hat der Druck an einem Punkt keine bevorzugte Richtung: Eine dort gedachte kleine Fläche erfährt unabhängig von ihrer Orientierung eine senkrechte Druckkraft.
Das unterscheidet sich von einem einzelnen Kraftvektor. Druck ist ein skalares Feld; die Richtung der Kraft auf eine Fläche ergibt sich aus deren Flächennormale. Gekrümmte Flächen erfahren deshalb Druckkräfte in vielen Richtungen, was für Auftrieb und die Konstruktion von Druckbehältern wichtig ist.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu
Für eine Flüssigkeit mit annähernd konstanter Dichte ρ beträgt die Druckdifferenz zwischen der Oberfläche und einem Punkt in der Tiefe h:
Δp = ρgh, also p = pOberfläche + ρgh
Das Ergebnis hängt von Tiefe, Dichte und Erdbeschleunigung ab – nicht von der Form des Gefäßes.
Druck in Abhängigkeit von der Tiefe
Berechne den Überdruck Δp = ρgh in einer ruhenden Flüssigkeit.
Überdruck und Absolutdruck
Der Absolutdruck wird relativ zum Vakuum gemessen. Der Überdruck wird relativ zum örtlichen Atmosphärendruck angegeben. Zeigt ein Reifendruckmesser 220 kPa, liegt der Innendruck etwa 220 kPa über dem Atmosphärendruck; der Absolutdruck beträgt nicht 220 kPa.
Pascalsches Prinzip und Hydraulik
Eine Druckänderung in einem eingeschlossenen, nahezu inkompressiblen Fluid wird im gesamten Fluid übertragen. Für Kolben auf gleicher Höhe gilt in einem idealen Hydrauliksystem F₁/A₁ = F₂/A₂.
Die größere Kraft erzeugt keine kostenlose Energie: Der kleine Kolben bewegt sich weiter. Im Idealfall ist die zugeführte Arbeit F₁d₁ gleich der abgegebenen Arbeit F₂d₂.
Voraussetzungen der einfachen Tiefenformel
Die Beziehung p = p₀ + ρgh setzt ein ruhendes Fluid mit nahezu konstanter Dichte voraus. Für mäßige Tiefen in Flüssigkeiten funktioniert sie sehr gut. Bei Gasen über große Höhenbereiche ändert sich die Dichte deutlich; dann ist ein vollständigeres Modell nötig.
Bei strömenden Fluiden kommt ein weiterer Effekt hinzu. Entlang einer Stromlinie verknüpft die Bernoulli-Gleichung für eine stationäre, inkompressible Strömung mit vernachlässigbarer Viskosität Druck, Geschwindigkeit und Höhe: p + ½ρv² + ρgy = konstant. Das bedeutet nicht, dass in jeder Strömung „schneller immer niedrigeren Druck“ heißt; entscheidend sind die Voraussetzungen und die verglichenen Punkte.
Durchgerechnete Beispiele
1. Kraft auf einer kleinen Fläche
Eine Kraft von 600 N verteilt sich gleichmäßig auf 0,020 m². Welcher Druck entsteht?
Lösung
p = F/A = 600/0,020 = 3,0 × 10⁴ Pa = 30 kPa.
2. Wasserdruck in der Tiefe
Bestimme den Überdruck 12 m unter der Oberfläche von Süßwasser mit ρ = 1000 kg m⁻³.
Lösung
Δp = ρgh = 1000 × 9,81 × 12 = 1,18 × 10⁵ Pa, also etwa 118 kPa.
3. Hydraulische Hebevorrichtung
Ein kleiner Kolben hat eine Fläche von 4,0 cm², ein großer Kolben 200 cm². Auf den kleinen Kolben wirken 80 N. Welche ideale Ausgangskraft steht zur Verfügung?
Lösung
F₁/A₁ = F₂/A₂, also F₂ = 80 × (200/4,0) = 4000 N. Reale Systeme verlieren einen Teil der Energie durch Reibung und andere Fluideffekte.