Ressonància
La ressonància és una resposta selectiva en freqüència. Un sistema té una o més freqüències naturals; si una força periòdica l’excita prop d’una d’elles, la transferència d’energia pot ser molt eficient i l’amplitud estacionària pot créixer molt.
Freqüència natural i excitació periòdica
Per a un oscil·lador massa–molla ideal, ω₀ = √(k/m) i f₀ = ω₀/(2π). Una força externa periòdica introdueix una freqüència d’excitació. La resposta depèn de la proximitat a f₀ i de com la força s’acobla al mode.
L’amortiment controla el pic de ressonància
Els sistemes reals perden energia per fricció, resistència elèctrica, radiació sonora o altres mecanismes. Un amortiment feble produeix un pic alt i estret; un amortiment fort el fa més baix i ample. El màxim pot quedar lleugerament per sota de la freqüència natural no amortida.
La corba de ressonància descriu la resposta estacionària després que els transitoris s’hagin esvaït.
Quan comença l’excitació, la resposta conté alhora el moviment lliure del sistema i la resposta forçada. L’amortiment fa desaparèixer el transitori i deixa la resposta estacionària. La freqüència de màxima amplitud pot desplaçar-se lleugerament respecte de f₀ quan l’amortiment no és negligible.
Resposta de l’oscil·lador forçat
Factor d’amplitud =
La ressonància és transferència repetida d’energia
Una empenta és efectiva quan arriba amb la fase adequada respecte del moviment. Un gronxador pot assolir gran amplitud amb impulsos modestos si es donen en el moment correcte. Un impuls mal sincronitzat pot, en canvi, retirar energia.
Excitar la freqüència correcta no és suficient si la força s’aplica on el mode gairebé no es mou, per exemple en un node ideal.
La ressonància no crea energia: el conductor fa treball positiu de manera coherent cicle rere cicle. L’amplitud deixa de créixer quan la potència mitjana aportada queda compensada per les pèrdues dissipatives.
Exemples mecànics, acústics i moleculars
Les estructures tenen modes mecànics, les columnes d’aire modes acústics, els circuits RLC freqüències ressonants i les molècules modes de rotació i vibració. Els sistemes amb molts graus de llibertat tenen múltiples modes normals, cadascun amb el seu patró espacial.
En sistemes amb molts graus de llibertat, cada mode normal té una freqüència i un patró espacial. Excitar la freqüència adequada no garanteix una resposta intensa si la força s’aplica en una zona que gairebé no participa en aquell mode.
Factor de qualitat i amplada de banda
El factor de qualitat Q descriu com de poc amortida és una ressonància. Un Q alt implica energia emmagatzemada durant molts cicles i una resposta estreta. Per amortiment feble, Q ≈ f₀/Δf, on Δf és l’amplada de banda del pic.
Exemples resolts
Freqüència natural massa–molla
m = 0,50 kg i k = 200 N m⁻¹. Calcula f₀.
Solució
ω₀ = √(200/0,50) = 20 rad s⁻¹; f₀ = 20/(2π) = 3,18 Hz.
Excitació lluny de la ressonància
Un oscil·lador té f₀ = 5 Hz i és excitat a 0,5 Hz. S’espera una ressonància forta?
Solució
No. La freqüència d’excitació és molt lluny de la freqüència natural.
Factor de qualitat
Una ressonància a 1000 Hz té una amplada de banda de 20 Hz. Estima Q.
Solució
Q ≈ 1000/20 = 50.