Resonans
Resonans oppstår når en periodisk drivkraft kobler effektivt til et systems naturlige bevegelse. Responsen kan bli stor, men bare når frekvens, demping og selve koblingen mellom drivkraft og bevegelsesmodus passer sammen.
Naturlig bevegelse og periodisk drivkraft
En fri oscillator har én eller flere egenfrekvenser. For et ideelt masse–fjær-system er ω₀ = √(k/m) og f₀ = ω₀/(2π). En ytre periodisk kraft tilfører en drivfrekvens f. Når denne ligger nær en egenfrekvens, kan energioverføringen bli særlig effektiv og den stasjonære amplituden øke kraftig.
Demping styrer resonanstoppen
Virkelige oscillatorer mister energi gjennom friksjon, elektrisk motstand, lydstråling eller andre mekanismer. Demping hindrer amplituden i å vokse uten grense. Svak demping gir en smal, høy resonanstopp. Sterk demping gir en lavere og bredere respons, og frekvensen for maksimal amplitude kan forskyves litt under den udempede egenfrekvensen.
Den vanlige resonanskurven beskriver stasjonær respons etter at transientene har dødd ut. Ved oppstart inneholder bevegelsen både fri svingning og drevet respons; dempingen fjerner den transiente delen over tid.
Respons for drevet oscillator
Utforsk den dimensjonsløse stasjonære amplitudefaktoren. La r = f/f₀ og ζ være dempingsforholdet.
Resonans er gjentatt energioverføring
Timing er avgjørende. Nær resonans gjør drivkraften gjentatte ganger positivt arbeid på oscillatoren, slik at energi bygges opp til energitapet ved demping balanserer tilførselen. En dytt på en huske er effektiv når den kommer med riktig fase i forhold til bevegelsen.
Lik nominell frekvens er ikke nok dersom kraften kobler dårlig til den aktuelle moden. Å drive ved et knutepunkt i en idealisert stående bølgemodus kan for eksempel nesten ikke eksitere denne moden.
Mekaniske, akustiske og molekylære eksempler
Konstruksjoner har mekaniske normalmodi, luftsøyler har akustiske modi og elektriske RLC-kretser har resonansfrekvenser. Molekyler har også rotasjons- og vibrasjonsfrekvenser som kan koble selektivt til elektromagnetisk stråling. Et virkelig system kan ha mange egenmodi, og både geometri og koblingsmåte avgjør hvilke som faktisk blir eksitert.
Kvalitetsfaktor og båndbredde
Et system med høy kvalitetsfaktor Q lagrer energi gjennom mange sykluser og har en smal resonans. Et system med lav Q taper energi raskere og har en bredere respons. For en svakt dempet, enkel resonans kan Q omtrent estimeres som Q ≈ f₀/Δf, der Δf er båndbredden rundt toppen. En høy Q er nyttig for selektive filtre og presise resonatorer, men kan være uønsket i konstruksjoner der store resonansamplituder må unngås.
Regneeksempler
1. Egenfrekvens for masse og fjær
En masse på 0,50 kg er koblet til en fjær med k = 200 N m⁻¹. Finn ω₀ og f₀.
Løsning
ω₀ = √(200/0,50) = 20 rad s⁻¹. Dermed f₀ = 20/(2π) = 3,18 Hz.
2. Drivkraft langt fra resonans
Et system har egenfrekvens 5 Hz, men drives ved 0,5 Hz. Bør vi forvente en sterk resonansrespons?
Løsning
Nei. Drivfrekvensen ligger langt under egenfrekvensen, så påvirkningen er ikke timet til å bygge opp en stor resonant respons.
3. Virkning av demping
To ellers like oscillatorer drives nær resonans, men den ene har mye sterkere demping. Hvilken får lavest toppamplitude?
Løsning
Den sterkere dempede oscillatoren. Den mister energi raskere, så resonanstoppen blir lavere og bredere.
Se sammenhengen: Bølger, lys og spektroskopi