Resonantie
Resonantie is een frequentieselectieve respons. Een systeem heeft één of meer natuurlijke frequenties; een periodieke aandrijving in de buurt van zo’n frequentie kan zeer efficiënt energie overdragen en een grote stationaire amplitude veroorzaken.
Natuurlijke frequentie en aandrijving
Voor een ideaal massa–veersysteem geldt ω₀ = √(k/m) en f₀ = ω₀/(2π). Een periodieke externe kracht heeft een aandrijffrequentie. De respons hangt af van de afstand tot f₀ en van de koppeling met de betreffende modus.
Demping bepaalt de resonantiepiek
Werkelijke oscillatoren verliezen energie door wrijving, elektrische weerstand of straling. Zwakke demping geeft een hoge, smalle piek; sterke demping een lagere, bredere respons. De frequentie van maximale amplitude kan iets onder de ongedempte natuurlijke frequentie liggen.
De resonantiecurve beschrijft de stationaire toestand nadat transiënten zijn verdwenen.
Wanneer de aandrijving start, bevat de beweging zowel een vrije trilling als de gedwongen respons. Demping laat de transiënt verdwijnen en laat de stationaire respons over. Bij merkbare demping kan de frequentie van maximale amplitude iets onder de ongedempte natuurlijke frequentie liggen.
Respons van gedwongen oscillator
Amplitudefactor =
Herhaalde energieoverdracht en fase
Een duw voegt vooral energie toe wanneer hij op het juiste moment in de cyclus komt. Zo kan een schommel met kleine maar goed getimede duwen groot uitslaan. Een slecht getimede kracht kan juist energie onttrekken.
Zelfs op de juiste frequentie kan de koppeling zwak zijn als de kracht op een knoop van de modus aangrijpt.
Resonantie maakt geen energie: de aandrijving verricht cyclus na cyclus coherent positieve arbeid. De amplitude stabiliseert wanneer het gemiddeld toegevoerde vermogen gelijk wordt aan het dissipatieve verlies.
Mechanische, akoestische en moleculaire voorbeelden
Constructies hebben mechanische modi, luchtkolommen akoestische modi, RLC-circuits resonantiefrequenties en moleculen rotatie- en vibratiemodi. Systemen met veel vrijheidsgraden hebben meerdere normale modi met verschillende ruimtelijke patronen.
Systemen met veel vrijheidsgraden hebben meerdere normale modi, elk met een eigen frequentie en ruimtelijk patroon. De juiste frequentie alleen is niet genoeg als de kracht wordt aangebracht op een plaats die nauwelijks met die modus koppelt.
Kwaliteitsfactor en bandbreedte
De kwaliteitsfactor Q geeft aan hoe zwak de demping is. Hoge Q betekent energieopslag over veel cycli en een smalle frequentierespons. Voor zwakke demping geldt ongeveer Q ≈ f₀/Δf.
Uitgewerkte voorbeelden
Natuurlijke frequentie
m = 0,50 kg en k = 200 N m⁻¹.
Oplossing
ω₀ = 20 rad s⁻¹ en f₀ = 3,18 Hz.
Ver van resonantie
f₀ = 5 Hz, aandrijving = 0,5 Hz. Sterke resonantie?
Oplossing
Nee. De aandrijffrequentie ligt ver van de natuurlijke frequentie.
Kwaliteitsfactor
f₀ = 1000 Hz en Δf = 20 Hz.
Oplossing
Q ≈ 1000/20 = 50.