Resonanssi

Resonanssi syntyy, kun jaksollinen ulkoinen voima kytkeytyy tehokkaasti järjestelmän luonnolliseen liikkeeseen. Vaste voi kasvaa suureksi vain, jos taajuus, vaimennus ja voiman kytkeytyminen kyseiseen värähtelymuotoon sopivat yhteen.

Luonnollinen liike ja jaksollinen pakotus

Vapaalla värähtelijällä on yksi tai useita ominaistaajuuksia. Ideaaliselle massa–jousi-järjestelmälle ω₀ = √(k/m) ja f₀ = ω₀/(2π). Jaksollinen ulkoinen voima tuo järjestelmään ajotaajuuden f. Kun se on lähellä ominaistaajuutta, energiansiirto voi olla erityisen tehokasta ja stationaarinen amplitudi kasvaa voimakkaasti.

Resonanssi on taajuusselektiivinen vaste. Heikko vaimennus antaa korkean ja kapean huipun; voimakkaampi vaimennus madaltaa ja leventää vastetta.

Vaimennus määrää resonanssihuipun

Todelliset värähtelijät menettävät energiaa kitkaan, sähkövastukseen, äänisäteilyyn tai muihin mekanismeihin. Vaimennus estää amplitudia kasvamasta rajatta. Heikko vaimennus tuottaa kapean, korkean resonanssihuipun; voimakas vaimennus matalamman ja leveämmän vasteen. Maksimiamplitudin taajuus voi myös siirtyä hieman vaimentamattoman ominaistaajuuden alapuolelle.

Tavallinen resonanssikäyrä kuvaa stationaarista vastetta transienttien hävittyä. Kun pakotus käynnistyy, liike sisältää sekä järjestelmän vapaan värähtelyn että pakotetun vasteen. Vaimennus poistaa transienttiosan ajan kuluessa.

Pakotetun värähtelijän vaste

Tutki vaimennetun värähtelijän dimensiotonta stationaarista amplitudikerrointa. Olkoon r = f/f₀ ja ζ vaimennussuhde.

Taajuussuhde r 1.00 Vaimennus ζ 0.10

Resonanssi on toistuvaa energiansiirtoa

Oikein ajoitetut työnnöt lisäävät energiaa kierros kierrokselta; väärä ajoitus voi myös poistaa energiaa liikkeestä.

Ajoitus ratkaisee. Resonanssin lähellä ulkoinen voima tekee toistuvasti positiivista työtä värähtelijälle, joten energiaa kertyy kunnes vaimennuksen häviöt tasapainottavat syötön. Keinua on helppo kasvattaa pienilläkin työnnöillä, jos ne annetaan oikeassa vaiheessa suhteessa liikkeeseen.

Pelkkä sama nimellistaajuus ei riitä, jos voima kytkeytyy huonosti kyseiseen moodiin. Esimerkiksi idealisoidun seisovan aallon solmukohdassa annettu pakotus voi vaikuttaa siihen moodiin hyvin vähän.

Mekaanisia, akustisia ja molekyyliesimerkkejä

Rakenteilla on mekaanisia normaalimuotoja, ilmapatsailla akustisia muotoja ja RLC-piireillä resonanssitaajuuksia. Molekyyleillä on rotaatio- ja värähtelytaajuuksia, jotka voivat kytkeytyä valikoivasti sähkömagneettiseen säteilyyn. Todellisella järjestelmällä voi olla useita ominaistiloja, ja geometria sekä kytkentätapa määräävät, mitkä niistä todella virittyvät.

Laatutekijä ja kaistanleveys

Korkean laatutekijän Q järjestelmä varastoi energiaa monen jakson ajan ja sen resonanssi on kapea. Matalan Q:n järjestelmä menettää energiaa nopeammin ja vaste on leveämpi. Heikosti vaimennetulle yksinkertaiselle resonanssille Q ≈ f₀/Δf, missä Δf on huipun kaistanleveys. Korkea Q on hyödyllinen valikoivissa suodattimissa ja tarkkuusresonaattoreissa, mutta rakenteissa hyvin suuri resonanssivaste voi olla haitallinen.

Lasketut esimerkit

1. Massa–jousi-järjestelmän ominaistaajuus

0,50 kg massa on jousessa, jonka k = 200 N m⁻¹. Laske ω₀ ja f₀.

Ratkaisu

ω₀ = √(200/0,50) = 20 rad s⁻¹. Siten f₀ = 20/(2π) = 3,18 Hz.

2. Pakotus kaukana resonanssista

Järjestelmän ominaistaajuus on 5 Hz, mutta sitä ajetaan taajuudella 0,5 Hz. Odotetaanko voimakasta resonanssia?

Ratkaisu

Ei. Ajotaajuus on kaukana ominaistaajuuden alapuolella, joten toistuva pakotus ei ajoitu rakentamaan suurta resonanssivastetta.

3. Vaimennuksen vaikutus

Kahta muuten samanlaista värähtelijää ajetaan resonanssin lähellä, mutta toisessa on paljon suurempi vaimennus. Kumman huippuamplitudi on pienempi?

Ratkaisu

Voimakkaammin vaimennetun. Se hukkaa energiaa nopeammin, joten resonanssihuippu on matalampi ja leveämpi.

Tutki yhteyksiä: Aallot, valo ja spektroskopia