Resonanz
Resonanz entsteht, wenn eine periodische Anregung wirksam an die Eigenbewegung eines Systems koppelt. Sie kann eine große Antwort hervorrufen, aber nur wenn Frequenz, Dämpfung und die Art der Kraftkopplung zum Bewegungsmuster zusammenpassen.
Eigenbewegung und periodische Anregung
Ein freier Oszillator besitzt eine oder mehrere Eigenfrequenzen. Für ein ideales Feder-Masse-System gilt ω₀ = √(k/m) und f₀ = ω₀/(2π). Eine periodische äußere Kraft führt eine Anregungsfrequenz f ein.
Liegt die Anregungsfrequenz nahe einer Eigenfrequenz, kann die Energieübertragung besonders wirksam werden und die stationäre Amplitude stark anwachsen.
Die Dämpfung bestimmt den Resonanzpeak
Reale Oszillatoren verlieren Energie durch Reibung, elektrischen Widerstand, Schallabstrahlung oder andere Mechanismen. Die Dämpfung verhindert, dass die Amplitude unbegrenzt anwächst.
Schwache Dämpfung erzeugt einen schmalen, hohen Resonanzpeak. Starke Dämpfung führt zu einer niedrigeren, breiteren Antwort. Die genaue Frequenz der maximalen Amplitude kann zudem etwas unter die ungedämpfte Eigenfrequenz verschoben sein.
Die bekannte Resonanzkurve beschreibt die stationäre Antwort, nachdem die Einschwingvorgänge abgeklungen sind. Zu Beginn der Anregung enthält die Bewegung zunächst eine Mischung aus freier Eigenschwingung und erzwungener Antwort. Die Dämpfung lässt den transienten Anteil mit der Zeit verschwinden.
Antwort eines erzwungenen Oszillators
Untersuche den dimensionslosen stationären Amplitudenfaktor eines gedämpften Oszillators. Dabei sei r = f/f₀ und ζ das Dämpfungsverhältnis.
Resonanz ist wiederholte Energieübertragung
Ein Impuls ist wirksam, wenn er in der passenden Phase zur Bewegung eintrifft. Deshalb kann eine Schaukel mit kleinen, aber richtig getakteten Anschüben zu großer Amplitude gebracht werden.
Die gleiche nominelle Frequenz genügt nicht, wenn die Kraft schlecht an die betreffende Schwingungsform koppelt. Ein Angriffspunkt an einem Knoten einer idealen stehenden Welle beeinflusst diesen Modus beispielsweise nur wenig.
Mechanische, akustische und molekulare Beispiele
Strukturen besitzen mechanische Moden, Luftsäulen akustische Moden, elektrische RLC-Schaltungen Resonanzfrequenzen und Moleküle Rotations- und Schwingungsmoden, die selektiv mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirken.
Das gemeinsame Muster lautet nicht „alles schwingt heftig“, sondern selektive Antwort: Das System reagiert nur auf Frequenzen und Kraftmuster stark, die an einen erlaubten Modus koppeln.
Systeme mit vielen Freiheitsgraden besitzen mehrere Normalmoden statt nur einer Eigenfrequenz. Eine Gitarrensaite, ein Molekül und ein Gebäude können daher mehrere Resonanzen zeigen, jeweils mit eigenem räumlichem Muster und eigener Kopplungsstärke.
Gütefaktor und Bandbreite
Der Gütefaktor Q beschreibt, wie schwach eine Resonanz gedämpft ist. Eine Resonanz mit hohem Q speichert Energie über viele Zyklen und besitzt eine schmale Frequenzantwort; bei niedrigem Q geht Energie schnell verloren und die Antwort erstreckt sich über ein breiteres Band.
Für eine schwach gedämpfte Resonanz verknüpft die nützliche Näherung Q ≈ f₀/Δf den Gütefaktor mit der vollen Bandbreite Δf um den Resonanzpeak.
Durchgerechnete Beispiele
1. Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Systems
Eine Masse von 0,50 kg ist an einer Feder mit k = 200 N·m⁻¹ befestigt. Bestimme die ungedämpfte Eigenfrequenz.
Lösung
ω₀ = √(k/m) = √(200/0,50) = 20 rad·s⁻¹. Damit ist f₀ = ω₀/(2π) = 3,18 Hz.
2. Anregung weit von der Resonanz
Ein Oszillator hat eine Eigenfrequenz von 5 Hz, wird aber mit 0,5 Hz angeregt. Ist eine starke Resonanzantwort zu erwarten?
Lösung
Nein. Die Anregungsfrequenz liegt weit unter der Eigenfrequenz; die wiederholte Kraft ist daher nicht so getaktet, dass sich eine große Resonanzantwort aufbauen kann.
3. Einfluss der Dämpfung
Zwei ansonsten gleiche Oszillatoren werden nahe der Resonanz angeregt, einer ist jedoch deutlich stärker gedämpft. Welcher besitzt die kleinere Spitzenamplitude?
Lösung
Der stärker gedämpfte Oszillator. Er dissipiert Energie schneller, daher ist sein stationärer Resonanzpeak niedriger und breiter.