Rezonance

Vlastní frekvence a buzení

Volný oscilátor má jednu nebo více vlastních frekvencí. Pro ideální hmotnost na pružině je ω₀ = √(k/m) a f₀ = ω₀/(2π). Buzení přináší vlastní frekvenci f_drive.

Je-li f_drive daleko od odpovídajícího módu, odezva je slabší. Blízko rezonance lze energii dodávat v příznivé fázi v každém cyklu a amplituda roste.

Tlumení omezuje odezvu

Tření, odpor vzduchu, elektrický odpor nebo jiné ztráty odebírají energii kmitání. Silnější tlumení snižuje maximální amplitudu a rozšiřuje rezonanční křivku.

V ideálním netlumeném modelu může odezva při přesné rezonanci růst bez omezení, ale reálné systémy mají ztráty, nelinearity nebo pevnostní limity.

Maximum odezvy vyžaduje přesnost

V tlumeném systému nemusí být frekvence maximální amplitudy přesně rovna netlumené f₀. Při slabém tlumení je rozdíl malý, ale v přesném měření může být významný.

Je proto vhodné rozlišovat vlastní frekvenci modelu, frekvenci maxima amplitudy a podmínku maxima absorbovaného výkonu. Nejsou vždy totožné.

Jakost a šířka rezonance

Pro slabě tlumený rezonátor je užitečný vztah Q ≈ f₀/Δf, kde Δf je šířka pásma mezi body polovičního výkonu. Velké Q znamená úzkou a selektivní rezonanci.

Malé Q znamená širší odezvu a rychlejší ztrátu energie. Požadované Q závisí na účelu: hodiny, filtr, spektrometr a tlumič mají jiné požadavky.

Rezonance jako tok energie

Rezonance energii nevytváří. Budicí síla koná práci a při vhodné fázi ji do systému dodává velmi účinně.

V ustáleném stavu se energie dodaná za cyklus vyrovná ztrátám. Po vypnutí buzení způsobí tlumení postupný zánik kmitání.

Módy a reálné konstrukce

Struny, vzduchové sloupce, mosty, molekuly i obvody mají více vlastních módů. Silná rezonance vyžaduje nejen vhodnou frekvenci, ale i prostorové spojení buzení s daným módem.

V technice může být rezonance žádoucí v nástrojích a filtrech, nebo nebezpečná v konstrukcích. Návrh proto řídí vlastní frekvence, tlumení i zdroje buzení.

Jak rezonanci poznat experimentálně

V experimentu měníme budicí frekvenci a po dosažení ustáleného stavu měříme amplitudu nebo absorbovaný výkon. Graf odezvy proti frekvenci ukáže polohu maxima i šířku rezonance.

Měření musí být dostatečně pomalé, aby systém stihl dosáhnout ustáleného stavu. Při rychlém přelaďování, silné nelinearitě nebo velkých amplitudách může být pozorovaný vrchol posunutý a záviset na historii pohybu.

Řešené příklady

1. Pružina 200 N/m a 0,50 kg

2. Čtyřnásobná hmotnost

3. Vysoká jakost