Risonanza
La risonanza si verifica quando una forza periodica si accoppia in modo efficace al moto naturale di un sistema. Può produrre una risposta molto ampia, ma solo quando frequenza, smorzamento e modalità di accoppiamento della forza al moto sono compatibili.
Moto naturale e forzante periodica
Un oscillatore libero possiede una o più frequenze naturali. Per un sistema ideale massa–molla, ω₀ = √(k/m) e f₀ = ω₀/(2π). Una forza esterna periodica introduce una frequenza di forzante f.
Quando la frequenza di forzante è vicina a una frequenza naturale, il trasferimento di energia può diventare particolarmente efficiente e l’ampiezza a regime può aumentare.
Lo smorzamento controlla il picco di risonanza
Gli oscillatori reali perdono energia per attrito, resistenza elettrica, radiazione sonora o altri meccanismi. Lo smorzamento impedisce all’ampiezza di crescere senza limite.
Uno smorzamento debole produce un picco di risonanza alto e stretto. Uno smorzamento forte produce una risposta più bassa e più larga. La frequenza esatta di ampiezza massima può inoltre spostarsi leggermente al di sotto della frequenza naturale non smorzata.
La consueta curva di risonanza descrive la risposta a regime dopo che i transitori si sono attenuati. Quando inizia la forzante, il sistema contiene inizialmente una combinazione della propria oscillazione libera e della risposta forzata. Lo smorzamento elimina nel tempo la componente transitoria.
Risposta dell’oscillatore forzato
Esplora il fattore adimensionale di ampiezza a regime per un oscillatore smorzato. Sia r = f/f₀ e ζ il rapporto di smorzamento.
La risonanza è trasferimento ripetuto di energia
Una spinta è efficace quando arriva con la fase giusta rispetto al moto. Per questo un’altalena può raggiungere grande ampiezza con spinte modeste applicate nei momenti opportuni.
Applicare una forza alla stessa frequenza nominale non basta se essa si accoppia male al modo rilevante: per esempio, spingere in corrispondenza di un nodo di un modo ideale di onda stazionaria ha scarso effetto su quel modo.
Esempi meccanici, acustici e molecolari
Le strutture hanno modi meccanici; le colonne d’aria hanno modi acustici; i circuiti elettrici RLC hanno frequenze di risonanza; le molecole possiedono modi rotazionali e vibrazionali che interagiscono selettivamente con la radiazione elettromagnetica.
Il modello comune non è che «tutto vibra violentemente». È una risposta selettiva: il sistema risponde fortemente solo alle frequenze e ai profili di forza che si accoppiano a un modo consentito.
I sistemi con molti gradi di libertà hanno diversi modi normali anziché una sola frequenza naturale. Una corda di chitarra, una molecola e un edificio possono quindi mostrare più risonanze, ciascuna con il proprio profilo spaziale e la propria intensità di accoppiamento.
Fattore di qualità e larghezza di banda
Il fattore di qualità Q descrive quanto debolmente è smorzata una risonanza. Una risonanza ad alto Q immagazzina energia per molti cicli e ha una risposta in frequenza stretta; una risonanza a basso Q perde energia rapidamente e risponde su una banda più ampia.
Per una risonanza debolmente smorzata, l’utile approssimazione Q ≈ f₀/Δf collega Q alla larghezza di banda completa Δf intorno al picco di risonanza.
Esempi svolti
1. Frequenza naturale massa–molla
Una massa di 0,50 kg è collegata a una molla con k = 200 N m⁻¹. Calcola la frequenza naturale senza smorzamento.
Soluzione
ω₀ = √(k/m) = √(200/0,50) = 20 rad s⁻¹. Quindi f₀ = ω₀/(2π) = 3,18 Hz.
2. Forzante lontana dalla risonanza
Un oscillatore ha frequenza naturale 5 Hz ma viene forzato a 0,5 Hz. Ci si deve aspettare una forte risposta di risonanza?
Soluzione
No. La frequenza di forzante è molto inferiore alla frequenza naturale, quindi la forza ripetuta non è sincronizzata per costruire una grande risposta risonante.
3. Effetto dello smorzamento
Due oscillatori per il resto identici sono forzati vicino alla risonanza, ma uno ha uno smorzamento molto maggiore. Quale ha l’ampiezza di picco più bassa?
Soluzione
L’oscillatore con smorzamento maggiore. Dissipa energia più rapidamente, quindi il picco di risonanza a regime è più basso e più largo.