Resonans
Resonans är ett frekvensselektivt svar. Ett system har en eller flera egenfrekvenser; en periodisk drivning nära en sådan frekvens kan överföra energi särskilt effektivt och ge stor stationär amplitud.
Egenfrekvens och periodisk drivning
För en ideal massa–fjäder-oscillator gäller ω₀ = √(k/m) och f₀ = ω₀/(2π). En periodisk yttre kraft har en drivfrekvens. Svaret beror på avståndet till f₀ och på hur väl kraften kopplar till den aktuella moden.
Dämpning styr resonanstoppen
Verkliga oscillatorer förlorar energi genom friktion, elektriskt motstånd eller strålning. Svag dämpning ger en hög och smal topp; stark dämpning en lägre och bredare respons. Frekvensen för maximal amplitud kan ligga något under den odämpade egenfrekvensen.
Resonanskurvan beskriver det stationära svaret efter att transienterna klingat av.
När drivningen startar innehåller rörelsen både systemets fria svängning och den påtvingade responsen. Dämpning gör att transienten dör bort och lämnar den stationära responsen. Vid märkbar dämpning kan frekvensen för maximal amplitud ligga något under den odämpade egenfrekvensen.
Svar för driven oscillator
Amplitudfaktor =
Upprepad energiöverföring och fas
En knuff tillför mest energi när den kommer i rätt fas med rörelsen. Därför kan en gunga få stor amplitud av små men väl tajmade knuffar. Dålig tajmning kan i stället ta bort energi.
Även rätt frekvens ger svag koppling om kraften verkar nära en nod för den aktuella moden.
Resonans skapar ingen energi: drivningen utför koherent positivt arbete cykel efter cykel. Amplituden stabiliseras när den genomsnittligt tillförda effekten balanserar de dissipativa förlusterna.
Mekaniska, akustiska och molekylära exempel
Konstruktioner har mekaniska moder, luftpelare akustiska moder, RLC-kretsar resonansfrekvenser och molekyler rotations- och vibrationsmoder. System med många frihetsgrader har flera normalmoder med olika rumsliga mönster.
System med många frihetsgrader har flera normalmoder, var och en med egen frekvens och rumsligt mönster. Rätt frekvens räcker inte om kraften appliceras på en plats som nästan inte kopplar till den aktuella moden.
Kvalitetsfaktor och bandbredd
Kvalitetsfaktorn Q beskriver hur svagt dämpad en resonans är. Högt Q betyder energilagring under många cykler och en smal frekvensrespons. Vid svag dämpning gäller ungefär Q ≈ f₀/Δf.
Lösta exempel
Massa–fjäder-frekvens
m = 0,50 kg och k = 200 N m⁻¹.
Lösning
ω₀ = 20 rad s⁻¹; f₀ = 3,18 Hz.
Långt från resonans
f₀ = 5 Hz, drivning = 0,5 Hz.
Lösning
Nej. Drivfrekvensen ligger långt från egenfrekvensen.
Kvalitetsfaktor
f₀ = 1000 Hz, Δf = 20 Hz.
Lösning
Q ≈ 1000/20 = 50.