เรโซแนนซ์

ระบบสั่นทุกชนิดมีความถี่ธรรมชาติหนึ่งค่าหรือหลายค่า เมื่อแรงขับเป็นคาบมีความถี่เข้าใกล้ค่าหนึ่ง การถ่ายพลังงานอาจมีประสิทธิภาพมากและแอมพลิจูดในสถานะคงตัวเพิ่มขึ้นอย่างเด่นชัด นี่คือแก่นของเรโซแนนซ์

forced oscillator

สำหรับระบบมวล–สปริงแบบเชิงเส้น เขียน m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cosωt ได้ ค่า k และ m กำหนดความถี่ธรรมชาติประมาณ ω₀=√(k/m) ส่วน b กำหนดการสูญเสียและ shape ของการตอบสนอง

เมื่อปรับ driving frequency ω แอมพลิจูด steady-state มักสูงแถว ω₀ แต่ตำแหน่ง peak ที่แม่นยำอาจเลื่อนเล็กน้อยเมื่อ damping ไม่เป็นศูนย์ จึงไม่ควรยึดว่า maximum ต้องตรง ω=ω₀ ทุกกรณี

ทำไมพลังงานสะสมได้

ถ้าแรงขับให้พลังงานใน phase ที่เหมาะสมทุกคาบ ระบบจะได้รับพลังงานสุทธิต่อเนื่อง เปรียบได้กับการผลักชิงช้าให้ถูกจังหวะ แรงเล็กหลายครั้งสามารถสร้างแอมพลิจูดใหญ่ได้

ใน steady state พลังงานเฉลี่ยที่ driver ใส่ต่อคาบสมดุลกับพลังงานที่ damping กำจัด ดังนั้นระบบจริงไม่เพิ่มแอมพลิจูดเป็นอนันต์

phase response

ที่ความถี่ต่ำ displacement อาจเกือบ in phase กับแรงขับ เมื่อผ่านย่าน resonance phase เปลี่ยนอย่างรวดเร็ว และที่ความถี่สูงมาก displacement เข้าใกล้ opposition

ข้อมูล phase มีความสำคัญใน sensor, filter และ control system ไม่ใช่เพียงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ของกราฟแอมพลิจูด

Q factor และ bandwidth

ค่า quality factor Q สูงสัมพันธ์กับ resonance ที่แคบและการสูญเสียต่ำ ระบบเก็บพลังงานได้นานหลายคาบ ค่า Q สามารถเชื่อม resonance frequency กับ bandwidth ได้โดยประมาณ

Q สูงมีประโยชน์ในตัวกรองหรือ resonator ที่ต้องเลือกความถี่ แต่ในโครงสร้างทางวิศวกรรม resonance ที่แคบและสูงมากอาจเพิ่มความเสี่ยงต่อ vibration

ขอบเขตของแบบจำลอง

เครื่องดนตรี วงจร RLC cavity และการสั่นระดับโมเลกุลล้วนแสดง resonance แต่กลไก restoring และ damping ต่างกัน การใช้คำเดียวไม่ได้หมายความว่าทุกระบบอธิบายด้วยสมการสปริงเดียวครบถ้วน

เมื่อ amplitude สูงจนระบบ nonlinear ความถี่ resonance อาจเลื่อน เกิด harmonic เพิ่ม หรือมีหลาย stable responses แบบจำลอง linear จึงไม่พอ

การวัด resonance อย่างเป็นระบบ

ในการทดลองควรกวาด driving frequency ทีละช่วงแล้วบันทึกทั้ง amplitude และ phase หลังรอให้ transient จางลง ถ้าวัดเร็วเกินไป response ชั่วคราวจาก initial conditions อาจปะปนกับ steady-state curve

ตำแหน่ง peak, bandwidth และ phase crossing ให้ข้อมูลเกี่ยวกับ natural frequency และ damping ได้ดีกว่าดูจุด amplitude สูงสุดเพียงจุดเดียว

แบบฝึกหัด

สปริง

m=0.50 kg, k=200 N m⁻¹

เฉลย: ω₀=20 rad s⁻¹ และ f₀≈3.18 Hz

เพิ่ม damping

ตัวแปรอื่นคงเดิม

เฉลย: peak ลดลงและกว้างขึ้นโดยทั่วไป

ชิงช้า

แรงผลักเล็กให้ผลดีเมื่อใด?

เฉลย: เมื่อให้จังหวะสอดคล้องกับการสั่นและ phase เหมาะสม