Rezonans

Częstość własna i wymuszenie

Swobodny oscylator ma jedną lub więcej częstości własnych. Dla idealnej masy na sprężynie ω₀ = √(k/m), a f₀ = ω₀/(2π). Wymuszenie wprowadza własną częstotliwość f_drive.

Gdy f_drive jest daleko od odpowiedniego modu, układ reaguje słabiej. Blisko rezonansu energia może być doprowadzana w korzystnej fazie przez kolejne cykle, dzięki czemu amplituda rośnie.

Tłumienie ogranicza odpowiedź

Tarcie, opór powietrza, opór elektryczny lub inne straty odbierają energię oscylacji. Większe tłumienie obniża maksymalną amplitudę i poszerza krzywą rezonansową.

W idealnym modelu bez tłumienia odpowiedź przy dokładnym rezonansie może rosnąć bez ograniczenia, ale rzeczywiste układy zawsze mają straty, nieliniowości albo granice wytrzymałości.

Maksimum odpowiedzi wymaga precyzji

W układzie tłumionym częstotliwość maksymalnej amplitudy nie musi być dokładnie równa nietłumionej f₀. Różnica jest mała przy słabym tłumieniu, ale może być ważna w precyzyjnych pomiarach.

Dlatego warto rozróżniać częstotliwość własną modelu, częstotliwość maksimum amplitudy oraz warunek maksimum absorpcji mocy. Nie są one zawsze identyczne.

Dobroć i szerokość rezonansu

Dla słabo tłumionego rezonatora użyteczna jest relacja Q ≈ f₀/Δf, gdzie Δf jest szerokością pasma między punktami połowy mocy. Duże Q oznacza wąski, selektywny rezonans.

Małe Q oznacza szerszą odpowiedź i szybszą utratę energii. Wybór pożądanego Q zależy od zastosowania: zegar, filtr lub spektrometr potrzebuje czegoś innego niż amortyzator.

Rezonans jako przepływ energii

Rezonans nie jest „tworzeniem energii”. Wymuszenie wykonuje pracę nad układem, a przy odpowiedniej fazie energia jest dostarczana bardzo skutecznie.

W stanie ustalonym energia doprowadzana w jednym cyklu równoważy straty. Jeśli wymuszenie zostanie wyłączone, tłumienie powoduje zanik drgań.

Mody i rzeczywiste konstrukcje

Struny, słupy powietrza, mosty, cząsteczki i obwody mają wiele modów własnych. Rezonans wystąpi silnie tylko wtedy, gdy wymuszenie ma nie tylko właściwą częstotliwość, ale też odpowiedni kształt przestrzenny.

W technice rezonans może być pożądany w instrumentach i filtrach albo niebezpieczny w konstrukcjach. Projektowanie polega więc na kontrolowaniu częstości własnych, tłumienia i źródeł wymuszenia.

Jak rozpoznać rezonans doświadczalnie

W eksperymencie zmienia się częstotliwość wymuszenia i mierzy amplitudę albo pochłanianą moc po osiągnięciu stanu ustalonego. Wykres odpowiedzi względem częstotliwości ujawnia położenie maksimum i szerokość rezonansu.

Pomiar powinien być wykonywany wystarczająco wolno, aby układ zdążył osiągnąć stan ustalony. Przy szybkim przemiatan iu częstotliwości, silnej nieliniowości lub dużych amplitudach obserwowany pik może być przesunięty i zależeć od historii ruchu.

Przykłady rozwiązane

1. Sprężyna 200 N/m i 0,50 kg

2. Wzrost masy czterokrotnie

3. Duża dobroć