Resonancia
La resonancia aparece cuando una excitación periódica se acopla eficazmente al movimiento natural de un sistema. Puede producir una respuesta grande, pero solo cuando coinciden adecuadamente la frecuencia, el amortiguamiento y la forma en que la fuerza se acopla al movimiento.
Movimiento natural y excitación periódica
Un oscilador libre posee una o varias frecuencias naturales. Para un sistema ideal masa–resorte, ω₀ = √(k/m) y f₀ = ω₀/(2π). Una fuerza externa periódica introduce una frecuencia de excitación f.
Cuando la frecuencia de excitación está cerca de una frecuencia natural, la transferencia de energía puede ser especialmente eficaz y la amplitud en régimen estacionario puede aumentar.
El amortiguamiento controla el pico de resonancia
Los osciladores reales pierden energía por rozamiento, resistencia eléctrica, radiación sonora u otros mecanismos. El amortiguamiento impide que la amplitud crezca sin límite.
Un amortiguamiento débil produce un pico de resonancia alto y estrecho. Un amortiguamiento fuerte da una respuesta más baja y ancha. La frecuencia exacta de amplitud máxima también puede desplazarse ligeramente por debajo de la frecuencia natural sin amortiguamiento.
La curva de resonancia habitual describe la respuesta en régimen estacionario una vez desaparecidos los transitorios. Al comenzar la excitación, el sistema contiene inicialmente una mezcla de su propia oscilación libre y de la respuesta forzada. El amortiguamiento elimina con el tiempo la componente transitoria.
Respuesta de un oscilador forzado
Explora el factor adimensional de amplitud en régimen estacionario de un oscilador amortiguado. Sea r = f/f₀ y ζ la razón de amortiguamiento.
La resonancia es una transferencia repetida de energía
Un empuje es eficaz cuando llega con la fase adecuada respecto del movimiento. Por eso un columpio puede alcanzar gran amplitud mediante empujes modestos aplicados en los momentos correctos.
Excitar a la misma frecuencia nominal no basta si la fuerza se acopla mal al modo relevante; por ejemplo, empujar en un nodo de un modo ideal de onda estacionaria apenas afecta a ese modo.
Ejemplos mecánicos, acústicos y moleculares
Las estructuras tienen modos mecánicos; las columnas de aire, modos acústicos; los circuitos eléctricos RLC, frecuencias de resonancia; y las moléculas poseen modos rotacionales y vibracionales que interactúan selectivamente con la radiación electromagnética.
El patrón común no es que «todo vibre violentamente», sino una respuesta selectiva: el sistema responde con intensidad solo a las frecuencias y patrones de fuerza que se acoplan a un modo permitido.
Los sistemas con muchos grados de libertad tienen varios modos normales, no una única frecuencia natural. Una cuerda de guitarra, una molécula y un edificio pueden mostrar varias resonancias, cada una con su propio patrón espacial y su intensidad de acoplamiento.
Factor de calidad y ancho de banda
El factor de calidad Q describe lo débilmente amortiguada que está una resonancia. Una resonancia de Q alto almacena energía durante muchos ciclos y tiene una respuesta en frecuencia estrecha; una de Q bajo pierde energía con rapidez y responde en una banda más amplia.
Para una resonancia débilmente amortiguada, la aproximación útil Q ≈ f₀/Δf relaciona Q con el ancho de banda total Δf alrededor del pico de resonancia.
Ejemplos resueltos
1. Frecuencia natural de masa–resorte
Una masa de 0,50 kg está unida a un resorte con k = 200 N·m⁻¹. Calcula la frecuencia natural sin amortiguamiento.
Solución
ω₀ = √(k/m) = √(200/0,50) = 20 rad·s⁻¹. Por tanto, f₀ = ω₀/(2π) = 3,18 Hz.
2. Excitación lejos de la resonancia
Un oscilador tiene una frecuencia natural de 5 Hz, pero se excita a 0,5 Hz. ¿Cabe esperar una respuesta resonante intensa?
Solución
No. La frecuencia de excitación está muy por debajo de la frecuencia natural, por lo que la fuerza repetida no está sincronizada para generar una gran respuesta resonante.
3. Efecto del amortiguamiento
Dos osciladores por lo demás idénticos se excitan cerca de la resonancia, pero uno tiene un amortiguamiento mucho mayor. ¿Cuál presenta la menor amplitud máxima?
Solución
El oscilador con mayor amortiguamiento. Disipa energía más deprisa, de modo que su pico de resonancia en régimen estacionario es más bajo y más ancho.