Gasgesetze
Gasgesetze sind verschiedene Sichtweisen auf ein einfaches Modell: viele schnell bewegte Teilchen in einem Volumen. Die ideale Gasgleichung verknüpft Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge; die kinetische Gastheorie erklärt, warum diese Größen zusammenhängen.
Die ideale Gasgleichung
PV = nRT
P ist der absolute Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge in Mol, T die Temperatur in Kelvin und R die Gaskonstante. Die Einheiten müssen zum verwendeten Wert von R passen.
In Teilchenform lautet sie PV = NkBT. Sie zeigt unmittelbar, dass die Temperatur die Energieskala der Molekularbewegung bestimmt.
Rechner für ideale Gase
Verwende SI-Einheiten: P in Pa, V in m³ und T in K.
P =
Boyle, Charles und Avogadro als Spezialfälle
Sind n und T konstant, bleibt PV konstant: Der Druck steigt, wenn das Volumen sinkt (Boyle). Sind n und P konstant, bleibt V/T konstant (Charles). Sind P und T konstant, ist V proportional zu n (Avogadro).
Diese Beziehungen sind keine voneinander unabhängigen Gesetze, die separat auswendig gelernt werden müssen; sie folgen aus PV = nRT, wenn die jeweiligen Größen konstant gehalten werden.
Kinetische Gastheorie
Beim idealen Gas werden die Teilchen als punktförmig betrachtet, ihre Stöße sind elastisch und zwischenmolekulare Kräfte werden außer während eines Stoßes vernachlässigt. Die mittlere translatorische kinetische Energie hängt nur von der absoluten Temperatur ab:
⟨Etrans⟩ = 3kBT/2.
Verschiedene Gase besitzen bei gleicher T die gleiche mittlere translatorische kinetische Energie; leichtere Moleküle bewegen sich im Mittel jedoch schneller.
Reale Gase und Kompressibilitätsfaktor
Definiert wird Z = PV/(nRT). Ein ideales Gas hat Z = 1. Anziehungskräfte können Z < 1 bewirken, weil Moleküle einander von den Wänden wegziehen; kurzreichweitige Abstoßung und endliche Molekülgröße können bei hoher Dichte zu Z > 1 führen.
Die van-der-Waals-Gleichung ist eine historische Korrektur; moderne Zustandsgleichungen werden nach ihrer Genauigkeit in bestimmten Druck- und Temperaturbereichen gewählt.
Gasgemische und Partialdruck
Für ein ideales Gemisch liefert das Daltonsche Gesetz Pges = ΣPi, und Pi = xiPges. Der Partialdruck verbindet die Zusammensetzung mit Gasphasengleichgewichten und mit dem Gasaustausch in physikalischen und biologischen Systemen.
Verwende immer die absolute Temperatur. Setzt man °C in Proportionalitäten der Gasgesetze ein, entstehen physikalisch falsche Ergebnisse.
Gasgesetzliche Überlegungen im Experiment
Dichte und molare Masse
Aus ρ = m/V, PV = nRT und n = m/M folgt ρ = PM/(RT). Bei gleicher Temperatur und gleichem Druck ist ein Gas mit größerer molarer Masse in der idealen Näherung daher dichter.
Umgekehrt kann aus der Gasdichte die molare Masse abgeschätzt werden, wenn P und T genau bekannt sind und sich das Gas hinreichend ideal verhält.
Gasauffangung über Wasser
Ein über flüssigem Wasser aufgefangenes Gas enthält sowohl das gewünschte Gas als auch Wasserdampf. Nach Dalton gilt Pges = PGas + PH₂O. Vor einer stöchiometrischen Rechnung mit dem Druck des trockenen Gases muss der Wasserdampfdruck abgezogen werden.
Die Korrektur wird mit steigender Temperatur größer, weil der Wasserdampfdruck stark mit der Temperatur zunimmt.
Mittlere Geschwindigkeit und Diffusion
Für ein ideales Gas ist die quadratische Mittelgeschwindigkeit vrms = √(3RT/M). Leichtere Moleküle bewegen sich daher bei gleicher T schneller. Das Grahamsche Gesetz beschreibt einen verwandten Trend der Effusionsgeschwindigkeiten, die ungefähr mit 1/√M skalieren.
Reale Diffusion durch Luft ist langsamer als freie Molekularbewegung, weil die Moleküle eine enorme Zahl von Stößen erfahren.
Durchgerechnetes Beispiel: ein Mol nahe Raumtemperatur
Für n = 1,00 mol, T = 298 K und P = 1,00 atm ergibt die ideale Gasgleichung V = nRT/P ≈ 24,5 L mit R = 0,082057 L·atm·mol⁻¹·K⁻¹.
Dieses bekannte molare Volumen ist keine universelle Konstante. Bei 273,15 K und 1 atm beträgt es etwa 22,4 L; bei hohem Druck kann ein reales Gas deutlich von beiden idealen Vorhersagen abweichen.
Einheiten konsequent verwenden
Wird R = 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ verwendet, gilt 1 J = 1 Pa·m³. Der Druck muss dann in Pascal und das Volumen in Kubikmetern eingesetzt werden. Liter, Atmosphären und die SI-Form von R zu mischen, gehört zu den häufigsten Fehlern bei Gasgesetzen.
Gasstöchiometrie
Da gleiche Volumina idealer Gase bei gleicher T und gleichem P gleich viele Moleküle enthalten, lassen sich ausgeglichene Gasphasenreaktionen manchmal direkt als Volumenverhältnisse lesen. Bei N₂ + 3H₂ → 2NH₃ reagiert ein Volumen N₂ mit drei Volumina H₂ unter gleichen Bedingungen zu zwei Volumina NH₃, sofern alle Stoffe unter den angegebenen Bedingungen als Gase behandelt werden können.
Diese Abkürzung gilt nicht, wenn Temperaturen oder Drücke verschieden sind, die Gase nicht ideal sind oder ein Produkt kondensiert.
Referenzbedingungen müssen angegeben werden
Das „molare Volumen eines Gases“ hat ohne Angabe von T und P keinen einzelnen Wert. Werte um 22,4 L·mol⁻¹ beziehen sich auf 273,15 K und 1 atm; nahe Raumtemperatur und bei 1 atm liegt der Wert eher bei 24–25 L·mol⁻¹. Gib daher immer die Bedingungen an, statt einen Volumenwert als universell auswendig zu lernen.
Übungen
Kompression
Bei konstanter T wird ein Gas von 2,0 L auf 1,0 L komprimiert. Was geschieht mit dem Druck?
Lösung
Er verdoppelt sich, unter der Annahme idealen Verhaltens und konstanter Stoffmenge.
Temperatur
Warum muss T in Kelvin angegeben werden?
Lösung
Die Proportionalitäten der Gasgesetze beziehen sich auf eine absolute Energieskala mit dem Nullpunkt beim absoluten Nullpunkt.
Reales Gas
Wo sind Abweichungen vom idealen Gas normalerweise am größten?
Lösung
Bei hohem Druck und niedriger Temperatur, weil dort Molekülvolumen und Anziehungskräfte am stärksten ins Gewicht fallen.