Radioaktiver Zerfall

Radioaktiver Zerfall folgt einem Exponentialgesetz, weil jeder noch nicht zerfallene Kern näherungsweise dieselbe Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit besitzt. In gleichen Zeitintervallen geht daher ungefähr derselbe Anteil verloren; die absolute Zahl der Zerfälle wird kleiner, wenn die Probe schrumpft.

Das Exponentialgesetz

N(t) = N₀e^−λt und A(t) = A₀e^−λt.

Die Zerfallskonstante λ hat die Einheit einer inversen Zeit. Sie beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsrate, keinen individuellen Countdown für einen einzelnen Kern.

Die Kurve verliert nicht in jedem Intervall dieselbe Anzahl. Im idealen Ein-Moden-Modell geht jeweils derselbe Anteil verloren.

Halbwertszeit und Zerfallskonstante beschreiben dasselbe Verhalten

Aus N(T½) = N₀/2 folgt T½ = ln 2 / λ. Eine große Zerfallskonstante bedeutet einen schnellen Zerfall und damit eine kurze Halbwertszeit.

Jedes Halbwertszeitintervall multipliziert die verbleibende Menge mit 1/2. Nach n Halbwertszeiten beträgt der Erwartungswert des verbleibenden Anteils (1/2)ⁿ.

Verzweigungen und Zerfallsketten erfordern Erweiterungen

Manche Nuklide können über mehrere Wege zerfallen. Die gesamte Zerfallskonstante ist die Summe der partiellen Zerfallskonstanten; Verzweigungsverhältnisse geben die relativen Wahrscheinlichkeiten an. In einer Zerfallskette werden Tochterkerne gleichzeitig erzeugt und wieder entfernt, sodass für die Tochter im Allgemeinen keine einzelne Exponentialfunktion genügt.

Messungen enthalten Zählstatistik

Beobachtete Zählwerte schwanken. Für unabhängige radioaktive Ereignisse ist die Poisson-Statistik häufig eine gute Näherung; die Standardabweichung liegt dann bei ungefähr √N Zählungen. Der Untergrund muss mit eigener Unsicherheit gemessen und abgezogen werden und darf nicht als exakte Zahl behandelt werden.

Eine einzelne Exponentialfunktion ist ein Modell mit Voraussetzungen. Das einfache Gesetz nimmt eine Population desselben Radionuklids mit zeitlich konstanter Zerfallswahrscheinlichkeit an. Es beschreibt den Erwartungswert der Zahl der Mutterkerne, nicht eine vollkommen glatte Folge von Detektorsignalen. Mischungen, Aktivität von Tochterkernen oder Änderungen der Messeffizienz können Kurven erzeugen, die keine einzelne Exponentialfunktion sind, obwohl jedes Radionuklid seinem eigenen Zerfallsgesetz folgt. Beim Anpassen von Messdaten muss daher klar sein, welche Population modelliert wird und ob der Untergrund entfernt wurde.

Durchgerechnete Beispiele

1. Anteil nach drei Halbwertszeiten

(1/2)³ = 1/8: Im Mittel bleiben 12,5 % übrig.

2. Zerfallskonstante

Für T½ = 10 d gilt λ = ln 2 / 10 = 0,0693 d⁻¹.

3. Kontinuierlicher Zerfall

Für N₀ = 1000, λ = 0,20 h⁻¹ und t = 5 h ergibt sich N = 1000e⁻¹ ≈ 368.