Rozpad promieniotwórczy

Stała rozpadu prowadzi do prawa wykładniczego

Jeśli λ jest stałą rozpadu, to w krótkim czasie dt żyjące jądro ma prawdopodobieństwo około λdt na rozpad. Dla wielu niezależnych jąder otrzymujemy dN/dt = −λN i N(t)=N₀e^(−λt). Większa λ oznacza szybszy zanik populacji.

Proces jest bez pamięci

Jądro, które przetrwało długo, nie jest bardziej „spóźnione” na rozpad. Warunkowo, jeśli nadal istnieje, jego przyszłe prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu jest takie samo jak dla identycznego świeżo utworzonego jądra.

Rozgałęzienia i łańcuchy

Radionuklid może mieć kilka kanałów rozpadu. Całkowita λ jest sumą stałych częściowych, a współczynnik rozgałęzienia opisuje udział danego kanału. Jeśli jądro potomne też jest promieniotwórcze, sygnał może obejmować jednocześnie powstawanie i zanikanie i nie redukuje się do jednego prostego wykładnika.

Każde zdarzenie podlega prawom zachowania

Spontaniczny nie znaczy dowolny. Muszą być zachowane ładunek, całkowita energia i pęd, a moment pędu oraz inne liczby kwantowe ograniczają dozwolone przejścia. To właśnie struktura jądrowa decyduje, które kanały są możliwe i jak prawdopodobne.

Liczba jąder a zliczenia detektora

N(t) opisuje wartość oczekiwaną populacji. Rzeczywiste liczby impulsów fluktuują, bo zdarzenia są losowe; dla N zliczeń typowa skala niepewności Poissona wynosi około √N. Przed wyznaczeniem aktywności trzeba uwzględnić tło, sprawność i czas martwy detektora.

Warunki zewnętrzne zwykle niewiele zmieniają

Zwykłe zmiany temperatury, ciśnienia lub stanu chemicznego praktycznie nie zmieniają większości stałych rozpadu jądrowego. Wychwyt elektronu jest szczególnym przypadkiem, w którym gęstość elektronowa przy jądrze może wywołać małe przesunięcia.

Prawo statystyczne nie opisuje jednej historii

W małej próbce zliczenia mogą mocno odbiegać od gładkiej krzywej wykładniczej, ale średnia z wielu powtórzeń dąży do prawa N₀e^(−λt). To rozróżnienie między zdarzeniem losowym a przewidywalną statystyką jest istotą opisu rozpadu.

Od populacji do aktywności i czasu życia

Z równania N(t)=N₀e^(−λt) wynika nie tylko półtrwanie, lecz także średni czas życia τ=1/λ oraz aktywność A=λN dla prostego pojedynczego kanału. Te wielkości opisują różne aspekty tego samego procesu: N mówi, ile jąder oczekujemy, A ile rozpadów na jednostkę czasu, a τ ustala charakterystyczną skalę czasu. W łańcuchu rozpadu trzeba jednak śledzić osobno kolejne populacje, ponieważ jądro potomne jest jednocześnie produkowane i usuwane. Właśnie dlatego analiza rzeczywistego widma lub szeregu czasowego wymaga zidentyfikowania źródeł, tła i ewentualnych produktów pośrednich.

Przykłady rozwiązane

Jedna stała rozpadu

Rozwiązanie

Dla λt=1 pozostaje e⁻¹ ≈ 36,8% początkowej liczby jąder.

Jedna ósma próbki

Rozwiązanie

N/N₀=1/8 daje λt=ln 8=3 ln2≈2,079.

100 zliczeń

Rozwiązanie

Sama statystyka Poissona daje skalę niepewności około √100=10 zliczeń.