Auftrieb

Auftrieb ist die resultierende nach oben gerichtete Kraft eines Fluids, weil der Druck mit der Tiefe zunimmt. Das archimedische Prinzip fasst diese Druckdifferenz in einer praktischen Regel zusammen: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Fluids.

Archimedisches Prinzip

F_B = ρ_Fluid g V_verdrängt

Das verdrängte Volumen ist der Teil des Körpers unterhalb der Fluidoberfläche. Bei einem vollständig eingetauchten Körper entspricht es seinem äußeren Volumen. Die Formel hängt nicht direkt von der Dichte des Körpers selbst ab.

Auftrieb ist eine Folge des Drucks. Die Unterseite eines eingetauchten Körpers liegt tiefer, daher ist die dort nach oben gerichtete Druckkraft größer als die nach unten gerichtete Druckkraft an der Oberseite.

Schwimmen, Sinken und neutraler Auftrieb

Ein nicht abgestützter Körper beschleunigt entsprechend dem Zusammenspiel von Gewichtskraft und Auftrieb. Ist seine mittlere Dichte kleiner als die des Fluids, kann er aufsteigen und schwimmen. Ist sie größer, sinkt er tendenziell. Gleiche mittlere Dichten ermöglichen neutralen Auftrieb.

Schwimmen oder sinken?

Vergleiche die mittlere Dichte des Körpers mit der Dichte des Fluids.

Masse des Körpers (kg) Volumen des Körpers (m³) Dichte des Fluids (kg/m³)

Warum ein Stahlschiff schwimmen kann

_Körper = 0,50 ρ_Fluid etwa 2/3 eingetaucht dichter → tieferes Eintauchen

Bei einem schwimmenden Körper spiegelt der eingetauchte Anteil das Dichteverhältnis wider. Bei einheitlichen Dichten gilt V_sub/V = ρ_Körper/ρ_Fluid.

Ein massiver Stahlblock ist dichter als Wasser, ein Schiff ist jedoch größtenteils hohl. Für das Schwimmen zählt die mittlere Dichte des gesamten Schiffs einschließlich des luftgefüllten Volumens. Der Rumpf kann so viel Wasser verdrängen, dass die Gewichtskraft des verdrängten Wassers die Gewichtskraft des Schiffs ausgleicht.

Dasselbe Prinzip gilt für U-Boote, die ihre mittlere Dichte verändern, indem sie Wasser in Ballasttanks aufnehmen oder daraus abgeben. Ein schwimmender Körper stellt sich so ein, dass er genau genug Fluid für F_B = mg verdrängt; zusätzliche Ladung lässt ihn tiefer eintauchen, weil mehr Fluid verdrängt werden muss.

Scheinbares Gewicht

Wird ein eingetauchter Körper gehalten, verringert der Auftrieb die erforderliche Stützkraft. Ist der Körper vollständig eingetaucht und in Ruhe, zeigt eine Waage häufig T = mg − F_B. Die tatsächliche Gewichtskraft hat sich nicht geändert; das Fluid übernimmt einen Teil der nach oben gerichteten Stützung.

Was ändert sich mit der Tiefe?

Für einen starren, vollständig in eine inkompressible Flüssigkeit konstanter Dichte eingetauchten Körper ist die Auftriebskraft näherungsweise unabhängig von der Tiefe: Sowohl der obere als auch der untere Druck nehmen zu, ihre Differenz bleibt jedoch durch ρg und die vertikale Ausdehnung des Körpers bestimmt. In kompressiblen Fluiden oder wenn sich das Körpervolumen ändert, kann die Tiefe eine Rolle spielen.

Auch Gase erzeugen Auftrieb. Ein Heliumballon steigt nicht deshalb auf, weil Helium ein „negatives Gewicht“ hätte, sondern weil die vom Ballon verdrängte Umgebungsluft mehr wiegt als Helium und Ballonhülle zusammen. Die resultierende Kraft nach oben ist Auftrieb minus Gesamtgewicht.

Durchgerechnete Beispiele

1. Vollständig eingetauchter Körper

Ein Körper mit 0,020 m³ Volumen ist vollständig in Wasser eingetaucht. Welche Auftriebskraft wirkt auf ihn?

Lösung

F_B = ρgV = 1000 × 9,81 × 0,020 = 196 N nach oben.

2. Eingetauchter Anteil

Ein homogenes Holzstück hat eine Dichte von 650 kg m⁻³ und schwimmt in Süßwasser. Welcher Anteil seines Volumens ist eingetaucht?

Lösung

Im Schwimmgleichgewicht gilt ρ_FluidgV_sub = ρ_HolzgV. Daher ist V_sub/V = 650/1000 = 0,65, also 65 %.

3. Scheinbares Gewicht

Ein 10-kg-Körper mit einem Volumen von 0,0040 m³ ist vollständig in Wasser eingetaucht und wird von einer Waage gehalten. Was zeigt die Waage an?

Lösung

Gewichtskraft = 10 × 9,81 = 98,1 N. Auftriebskraft = 1000 × 9,81 × 0,0040 = 39,2 N.

Zugkraft = 98,1 − 39,2 = 58,9 N.