उत्प्लावन

द्रव में डूबी वस्तु पर नीचे की ओर अधिक दाब और ऊपर की ओर कम दाब का अंतर एक शुद्ध ऊपर की ओर बल पैदा करता है। Archimedes सिद्धांत के अनुसार यह उत्प्लावक बल विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।

Archimedes सिद्धांत

उत्प्लावक बल F_B = ρ_fluid g V_displaced, जहाँ V_displaced वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव का आयतन है। यह सूत्र वस्तु के अपने द्रव्यमान से सीधे नहीं, विस्थापित द्रव से आता है। पूर्णतः डूबी वस्तु के लिए V_displaced वस्तु के बाहरी आयतन के बराबर है यदि उसमें द्रव प्रवेश नहीं करता।

सिद्धांत का मूल pressure gradient है। वस्तु की निचली सतहों पर pressure सामान्यतः ऊपर की सतहों से अधिक होता है; सतह पर pressure force का vector integral ऊपर की ओर resultant देता है।

तैरना, डूबना और neutral buoyancy

यदि स्थिर तैराव में कोई अन्य ऊर्ध्व बल नहीं है, तो F_B = mg। इससे ρ_fluid V_sub g = ρ_object V_total g, इसलिए V_sub/V_total = ρ_object/ρ_fluid। पानी पर आधा आयतन डूबी वस्तु का औसत घनत्व लगभग पानी का आधा है।

यदि वस्तु का औसत घनत्व द्रव से अधिक हो तो पूर्ण डूबाव पर भी F_B < mg और वह नीचे acceleration कर सकती है। बराबर घनत्व पर neutral buoyancy संभव है।

Apparent weight

द्रव में लटकी वस्तु के लिए scale या tension उसका वास्तविक mg नहीं बल्कि अन्य बलों के साथ संतुलन दिखाता है। स्थिर पूर्ण डूबाव में T + F_B = mg, इसलिए T = mg − F_B। यही apparent weight reduction है।

यदि container भी scale पर रखा हो तो displaced fluid और support forces का पूरा system-level लेखा अलग परिणाम दे सकता है। किस scale की reading पूछी गई है, प्रणाली सीमा स्पष्ट करें।

जहाज़ और hollow structures

इस्पात पानी से घना है, फिर भी जहाज़ तैर सकता है क्योंकि जहाज़ + भीतर की हवा का औसत घनत्व पर्याप्त कम होता है। Hull इतना बड़ा पानी आयतन विस्थापित करता है कि ρ_water gV_disp जहाज़ के कुल भार को संतुलित कर सके।

लोड बढ़ने पर जहाज़ अधिक गहराई तक बैठता है और अधिक पानी विस्थापित करता है। यही कारण है कि load line सुरक्षित draft को सीमित करती है।

त्वरणशील द्रव और सीमा

Archimedes का साधारण ρgV रूप uniform gravitational field और hydrostatic equilibrium मानता है। तेज़ी से त्वरित container या density-stratified fluid में effective pressure gradient बदल सकता है।

छोटी वस्तुओं पर surface tension भी महत्वपूर्ण हो सकती है। पानी पर टिके कीट को केवल Archimedes buoyancy से समझाना पर्याप्त नहीं; surface tension की vertical component भी योगदान करती है।

अभ्यास

घनत्व से तैराव

वस्तु का 80% आयतन पानी में डूबा है।

हल: ρ_object ≈ 0.80ρ_water ≈ 800 kg m⁻³।

पूर्ण डूबा cube

V=0.002 m³ पानी में।

हल: F_B = 1000×9.81×0.002 ≈ 19.6 N।

Apparent weight

mg=50 N, F_B=12 N।

हल: स्थिर suspension पर tension ≈ 38 N।