薄レンズ
薄レンズは屈折によって光線の向きを変えます。まず光線図で幾何学をつかみ、その後で薄レンズの式から像距離と倍率を求めます。符号を暗記するより、一つの符号規約を選び最後まで一貫して使うことが重要です。
凸レンズと凹レンズ
ここでの符号規約では、収束する凸レンズの焦点距離は正で、平行光は実焦点へ集まります。発散する凹レンズの焦点距離は負で、平行光は入射側の焦点から出たように広がります。
符号計算の前に光線の進み方を理解します。凸レンズでは主軸に平行な光線は反対側の焦点へ向かい、光学中心を通る近軸光線は理想的な薄レンズではほぼ直進します。
三本の主光線
凸レンズの代表的な三本は、主軸に平行→遠側焦点、近側焦点を通る→主軸に平行、光学中心を通る→ほぼ直進、です。像の位置を決めるには通常このうち二本で十分です。
凹レンズを通った平行光は発散します。その逆延長線は物体側で交わるので、実物体に対する理想的な凹レンズ像は正立・縮小の虚像になります。
薄レンズの式と倍率
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ m = hᵢ/hₒ = −dᵢ/dₒ
関係式は 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ、横倍率は m=hᵢ/hₒ=−dᵢ/dₒ です。
本ページでは dᵢ>0 を実像、dᵢ<0 を虚像とし、m<0 は倒立、m>0 は正立を表します。代数で得た符号は光線図と整合するはずです。
薄レンズ計算機
符号規約：f>0 は凸レンズ、f<0 は凹レンズ。実物体は dₒ>0、実像は dᵢ>0 とします。
物体の位置で像の種類が変わる
凸レンズでは物体が焦点より外側にあれば実像を作れますが、焦点より内側なら正立で拡大された虚像になります。凹レンズは実物体に対して正立・縮小の虚像を作ります。
実像では光線が実際に収束するためスクリーンに投影できます。虚像は光線の逆延長線が交わる位置なので、その見かけの位置にスクリーンを置いても像は結びません。
計算前に光線図で予測する
数値を代入する前に二本以上の主光線を描き、実像か虚像か、正立か倒立か、拡大か縮小かを予測します。計算結果が予測と矛盾したら、望む答えに合わせるのではなく符号規約や代数を確認します。
薄レンズモデルは厚さや球面収差・色収差を無視します。実際の光学系では複数レンズで補正しますが、レンズ厚が物距や像距離より十分小さい場合、この単純なモデルは非常に有効です。
計算例
1. 凸レンズの実像
f=+10 cm、dₒ=30 cm。像距離と倍率を求めます。
解答
1/dᵢ=1/10−1/30=1/15 より dᵢ=+15 cm。m=−15/30=−0.50 なので、実像・倒立・半分の大きさです。
2. 焦点内の物体
同じ f=+10 cm で dₒ=5.0 cm。
解答
1/dᵢ=1/10−1/5=−1/10、したがって dᵢ=−10 cm。虚像で、m=+2、正立かつ2倍です。
3. 凹レンズ
f=−12 cm、dₒ=+24 cm。
解答
1/dᵢ=1/(−12)−1/24=−1/8 より dᵢ=−8.0 cm。物体側にある虚像です。