Хармоничен осцилатор

Защо хармоничното движение възниква близо до устойчиво равновесие

Нека ξ е малко отклонение от устойчиво равновесие. Разложението на потенциалната енергия дава V(ξ) ≈ V₀ + ½V″(0)ξ², защото първата производна е нула, а втората е положителна. Следователно F ≈ −k_effξ. За идеална пружина F = −kx и m x¨ + kx = 0.

Тази локална параболична форма обяснява защо малки механични трептения, молекулни вибрации, електрически вериги и много вълнови моди използват една и съща математика. При големи амплитуди висшите членове стават важни и движението е анхармонично.

Движение, период и фаза

Решението е x(t) = A cos(ωt + φ), с ω = √(k/m). f = ω/(2π), T = 2π√(m/k), v = −Aω sin(ωt+φ), а a = −ω²x. Следователно v_max = Aω и a_max = Aω².

Фазата показва къде в цикъла се намира системата. Два осцилатора с еднакво ω могат да имат различна фаза. Хармоничното движение може да се разглежда и като проекция на равномерно кръгово движение върху една ос.

Енергията се обменя между кинетична и потенциална

При идеален незатихващ осцилатор U = ½kx², K = ½mv², а общата енергия E = ½kA² е постоянна. В крайните точки x = ±A скоростта е нула, а при равновесие кинетичната енергия е максимална.

Удвояването на амплитудата увеличава енергията четири пъти, без да изменя периода в идеалния линеен модел. Времевата и енергийната скала са различни свойства.

Изчисление и вертикална пружина

Решено изчисление

За m = 0,50 kg, k = 200 N m⁻¹ и A = 0,040 m получаваме ω = 20 rad s⁻¹, T = 0,314 s, v_max = 0,80 m s⁻¹, a_max = 16 m s⁻² и E = 0,160 J.

Вертикална пружина

Тежестта измества равновесието до kx_eq = mg. Ако координатата се измерва от новото равновесие, отново получаваме mξ¨ + kξ = 0. Гравитацията изменя равновесното положение, но не ω = √(k/m) на малките трептения.

Махало: хармонично само при малък ъгъл

За просто махало възстановяващият момент съдържа sin θ. При малък |θ|, sin θ ≈ θ и T ≈ 2π√(L/g). При по-голяма амплитуда периодът се увеличава и движението вече не е строго хармонично. Приближението за малък ъгъл е граница на модела.

Затихване, принудено трептене и резонанс

При линейно затихване m x¨ + b x˙ + kx = 0. Слабо затихване дава намаляващи трептения, критичното връща най-бързо без прескачане, а силното дава по-бавен неосцилиращ отговор. При периодична сила m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt) откликът е голям близо до собствената честота.

Резонансът не означава безкрайна амплитуда в реална система. Затихването, нелинейността и крайното време на възбуждане ограничават отклика. Качественият фактор Q описва остротата на резонансния пик.

Фазово пространство, нормални моди и квантов осцилатор

Във фазовото пространство (x,v) идеалният осцилатор описва затворена елипса, а затихването — спирала навътре. При свързани системи движението се разлага на нормални моди с обща модова честота и фиксирани отношения на амплитудите.

В квантовата механика енергиите са E_n = (n + ½)ħω. Дори основното състояние n = 0 има нулева енергия ½ħω. Класическият и квантовият модел използват един и същ квадратичен потенциал, но различна структура на енергиите.

Опит и упражнение

Измерете периода при няколко амплитуди със същата маса и пружина. Линейният модел предвижда почти постоянен T, докато законът на Хук е валиден и затихването е малко. Системна зависимост от A показва нелинейност.

Какво се изменя при удвояване на амплитудата?

При идеален осцилатор маса–пружина A се удвоява, а m и k са постоянни. Какво става с T и E?