Oscillatore armonico

Approssimazione vicino all’equilibrio

Una massa collegata a una molla è l’immagine da manuale, ma l’oscillatore armonico è importante per un motivo più profondo. In prossimità di un equilibrio stabile, una vastissima classe di sistemi fisici si comporta approssimativamente come una molla anche quando non è presente alcuna molla reale.

Se un’energia potenziale regolare V(x) ha un minimo in x = x₀, allora V′(x₀) = 0 e, per un piccolo spostamento ξ = x − x₀, lo sviluppo di Taylor inizia come V(x) ≈ V(x₀) + ½V″(x₀)ξ². Derivando si ottiene F ≈ −V″(x₀)ξIl termine dominante della forza è quindi proporzionale allo spostamento e diretto verso l’equilibrio. Ponendo k_eff = V″(x₀), il moto locale diventa armonico.

Per questo la stessa matematica compare nelle molecole vibranti, nei reticoli cristallini, nei circuiti elettrici, nei risonatori acustici, nelle sospensioni meccaniche e nei modi normali di sistemi molto più complessi.

Per un oscillatore ideale unidimensionale, la legge di Hooke è F = −kx, dove x è misurato rispetto all’equilibrio e k è la costante elastica. La seconda legge di Newton fornisce:

m d²x/dt² = −kx, oppure d²x/dt² + ω²x = 0 con ω = √(k/m).

Il segno meno racchiude la fisica del problema: se x è positivo, l’accelerazione è negativa; se x è negativo, l’accelerazione è positiva. Quanto maggiore è lo spostamento, tanto maggiore è l’accelerazione di richiamo.

Moto, periodo e fase

Una funzione la cui derivata seconda è uguale al proprio opposto moltiplicato per una costante è un seno o un coseno. La soluzione generale è:

x(t) = A cos(ωt + φ)

A è l’ampiezza, ω la pulsazione e φ la costante di fase determinata dalle condizioni iniziali. Frequenza ordinaria e periodo sono:

f = ω/(2π) e T = 2π/ω = 2π√(m/k).

Per l’oscillatore lineare ideale, T non dipende dall’ampiezza. Questa affermazione cessa di essere valida quando la forza di richiamo diventa sensibilmente non lineare.

Derivando la posizione si ottiene v(t) = −Aω sin(ωt + φ) e a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x.

In x = ±A l’oscillatore inverte il moto: v = 0 mentre |a| è massimo. In x = 0 la forza di richiamo e l’accelerazione si annullano per un istante, ma la velocità è massima. Per questo l’oscillatore non si ferma all’equilibrio: l’inerzia lo porta oltre.

I valori massimi sono v_max = Aω e a_max = Aω².

L’ampiezza indica fin dove arriva l’oscillatore. La fase indica in quale punto del ciclo si trova. Due sistemi possono avere gli stessi A e ω ma trovarsi nello stesso istante in stati completamente diversi perché le loro fasi differiscono.

Nelle onde e negli oscillatori accoppiati, le differenze di fase determinano interferenza, trasferimento di energia e configurazioni collettive. Il singolo oscillatore armonico è quindi il nucleo matematico che riappare nello studio delle onde.

Immagina un punto che si muove uniformemente lungo una circonferenza. Proietta la sua posizione su un diametro. La proiezione si muove come x = A cos(ωt + φ): esattamente un moto armonico semplice.

Questa immagine rende intuitivo il concetto di fase. Due oscillatori con la stessa frequenza ma φ diverso sono come due vettori rotanti separati da un angolo fisso. Spiega anche perché seno e coseno descrivono lo stesso tipo di moto scegliendo diversamente l’origine dei tempi.

Energia

Per un oscillatore a molla, l’energia potenziale elastica è Eₚ = ½kx² e l’energia cinetica è E꜀ = ½mv². In assenza di smorzamento:

E = E꜀ + Eₚ = ½kA² = costante.

Nei punti di inversione, x = ±A: tutta l’energia meccanica è potenziale e v = 0. All’equilibrio, x = 0: l’energia potenziale è minima e quella cinetica massima. Nel modello ideale l’oscillatore scambia continuamente queste due forme mantenendo costante l’energia totale.

Calcolo e molla verticale

Pendolo e limiti dell’approssimazione

Un pendolo semplice è soggetto a un momento di richiamo proporzionale a sin θ, non a θ. La sua equazione esatta è non lineare. Per piccoli angoli espressi in radianti, sin θ ≈ θ, da cui si ottiene un’equazione armonica e la nota approssimazione:

T ≈ 2π√(L/g).

Per ampiezze maggiori il periodo aumenta leggermente. L’indipendenza del periodo dall’ampiezza è quindi una proprietà dell’approssimazione lineare, non una proprietà universale di ogni oscillatore.

L’approssimazione fallisce quando i termini di ordine superiore nella forza o nel potenziale non sono più trascurabili. La frequenza può allora dipendere dall’ampiezza, la forma d’onda può cessare di essere sinusoidale e possono comparire nuovi effetti.

Pendoli a grande ampiezza, molle fortemente deformate e molte vibrazioni molecolari reali sono anarmonici. L’oscillatore armonico è potente proprio perché è l’approssimazione dominante vicino all’equilibrio, non perché ogni oscillazione sia perfettamente armonica a qualsiasi ampiezza.

Smorzamento e risonanza

I sistemi reali subiscono attrito, resistenza del mezzo o resistenza elettrica. Un modello comune aggiunge una forza dipendente dalla velocità, ottenendo m x¨ + b x˙ + kx = 0.

Con smorzamento debole il sistema continua a oscillare, ma l’ampiezza diminuisce. Con smorzamento critico, torna all’equilibrio nel minor tempo possibile senza oscillare. Con uno smorzamento più forte, il moto sovrasmorzato ritorna più lentamente senza attraversare ripetutamente l’equilibrio.

Questi regimi spiegano perché un diapason continua a vibrare, una sospensione automobilistica si assesta e un chiudiporta viene progettato per non rimbalzare.

Se agisce una forza esterna oscillante, l’equazione diventa m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_ft). Dopo che i transitori si sono estinti, l’oscillatore risponde alla frequenza di forzamento ω_f.

La risposta diventa particolarmente grande quando il forzamento è vicino alla frequenza naturale del sistema: risonanza. Lo smorzamento limita il picco e lo allarga. La risonanza non è «energia che appare dal nulla»: il forzamento fornisce energia in modo coerente, ciclo dopo ciclo, quando la fase è favorevole.

Un oscillatore debolmente smorzato conserva energia per molti cicli. Il suo fattore di qualità Q è elevato, la risonanza è stretta e le oscillazioni libere decadono lentamente. Un oscillatore fortemente smorzato ha Q più basso e una risposta più larga.

Questo è importante in orologi, strumenti musicali, sensori, circuiti a radiofrequenza e cavità ottiche, dove si può desiderare una risonanza molto selettiva oppure, intenzionalmente, una risposta poco risonante.

Modi normali e modello quantistico

Rappresentando la velocità v in funzione della posizione x invece di entrambe in funzione del tempo, per un oscillatore armonico non smorzato la conservazione di E꜀ + Eₚ = ½mv² + ½kx² = E dà un’ellisse nel piano x–v.

Lo smorzamento trasforma l’ellisse chiusa in una spirale verso l’interno mentre l’energia si perde. Un oscillatore forzato in modo continuo può avvicinarsi a un’orbita chiusa ripetitiva. Le rappresentazioni nello spazio delle fasi rendono quindi visibili stabilità e comportamento energetico che possono essere meno evidenti in un grafico posizione-tempo.

Quando più gradi di libertà sono accoppiati, i piccoli moti possono spesso essere scomposti in modi normali. In ciascun modo l’intero sistema oscilla a una frequenza caratteristica secondo una configurazione fissa.

Una corda vibrante, un reticolo cristallino e pendoli accoppiati condividono questa idea. Le onde possono essere intese come oscillazioni coordinate di molti gradi di libertà; nei solidi, le vibrazioni quantizzate del reticolo danno luogo ai fononi.

In meccanica quantistica il potenziale rimane V(x) = ½mω²x², ma l’energia non è continua. I livelli consentiti sono:

E_n = (n + ½)ħω, n = 0, 1, 2, …

I livelli sono equidistanti di ħω e perfino lo stato fondamentale possiede energia di punto zero ½ħω. La particella non può semplicemente restare in x = 0 con energia cinetica esattamente nulla.

Questo modello è fondamentale per le vibrazioni molecolari, le vibrazioni reticolari, i campi quantistici e molti metodi di approssimazione. L’oscillatore armonico classico non viene sostituito: riappare come limite macroscopico della descrizione quantistica.

Esperimento ed esercizio

• Un grafico dell’accelerazione in funzione dello spostamento è una retta passante per l’origine con pendenza negativa: a = −ω²x.
• Nel campo esaminato, il periodo è approssimativamente indipendente dall’ampiezza.
• La posizione varia nel tempo in modo quasi sinusoidale.
• Per un oscillatore a molla, E꜀ + Eₚ resta costante se lo smorzamento è trascurabile.

Questo fornisce una verifica sperimentale del modello, invece di affidarsi solo all’aspetto del moto.

Variare l’ampiezza

Per m = 0,80 kg e k = 50 N m⁻¹, raddoppiare l’ampiezza cambia il periodo ideale? Che cosa accade a v_max e all’energia?