Harmonisk oscillator

Hvorfor harmonisk bevegelse oppstår nær stabil likevekt

La ξ være en liten forskyvning fra en stabil likevekt. En Taylor-utvikling av potensiell energi gir V(ξ) ≈ V₀ + ½V″(0)ξ² fordi førsteordensleddet er null i likevekt og andrederiverten er positiv. Dermed blir F ≈ −k_effξ. For en ideell fjær er F = −kx og bevegelseslikningen m x¨ + kx = 0.

Denne lokale kvadratiske formen forklarer hvorfor små svingninger i mekaniske systemer, molekylvibrasjoner, elektriske kretser og mange bølgemodi kan beskrives med samme matematikk. Når utslaget blir stort, blir høyere ledd i potensialet viktige og bevegelsen blir anharmonisk.

Bevegelse, periode og fase

Løsningen kan skrives x(t) = A cos(ωt + φ), der A er amplitude, φ startfase og ω = √(k/m). Frekvensen er f = ω/(2π) og perioden T = 2π√(m/k). Hastighet og akselerasjon blir v = −Aω sin(ωt+φ) og a = −ω²x. Dermed v_max = Aω og a_max = Aω².

Fasen forteller hvor i syklusen systemet er. To oscillatorer med samme ω kan ha ulike faser. Harmonisk bevegelse kan også sees som projeksjonen av jevn sirkelbevegelse på én akse, noe som gjør sinus- og cosinusformen geometrisk naturlig.

Energi flyttes mellom kinetisk og potensiell form

For den ideelle udempede fjæroscillatoren er U = ½kx², K = ½mv² og totalenergien E = ½kA² konstant. Ved vendepunktene x = ±A er v = 0 og all mekanisk energi er potensiell. I likevekten er U minst og farten størst.

Energibeskrivelsen viser umiddelbart at dobbel amplitude gir fire ganger så stor totalenergi, selv om perioden fortsatt er den samme i den ideelle lineære modellen. Dette er en viktig forskjell mellom energiskala og tidskala.

Beregning og vertikal fjær

Regneeksempel

Ta m = 0,50 kg, k = 200 N m⁻¹ og A = 0,040 m. Da er ω = √(200/0,50) = 20 rad s⁻¹, T = 2π/20 = 0,314 s, v_max = Aω = 0,80 m s⁻¹, a_max = Aω² = 16 m s⁻² og E = ½kA² = 0,160 J.

Vertikal fjær

For en vertikal fjær flytter tyngden likevekten til kx_eq = mg. Hvis koordinaten måles fra denne nye likevekten, er svingelikningen igjen mξ¨ + kξ = 0. Tyngden endrer altså likevektsposisjonen, men ikke den lille svingningens ω = √(k/m).

Pendel: harmonisk bare i småvinkelgrensen

For en enkel pendel er det eksakte dreiemomentet proporsjonalt med sin θ, ikke θ. Når |θ| er liten kan sin θ ≈ θ, og perioden blir T ≈ 2π√(L/g). Ved større amplitude øker perioden og bevegelsen er ikke lenger strengt harmonisk. Småvinkeltilnærmingen er derfor en modellgrense, ikke en identitet.

Demping, tvang og resonans

Med lineær demping er likningen m x¨ + b x˙ + kx = 0. Underdemping gir avtagende svingninger; kritisk demping gir rask retur uten oversving; overdemping gir langsommere ikke-oscillerende retur. Med periodisk drivkraft blir m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt). Responsen blir stor nær systemets resonansområde, mens demping begrenser toppamplituden og bestemmer faseforskyvningen.

Resonans betyr ikke at enhver liten kraft skaper uendelig amplitude. I virkelige systemer finnes demping, ikke-linearitet og begrenset drivtid. Kvalitetsfaktoren Q brukes ofte til å beskrive hvor smal og skarp resonansen er.

Faserom, normalmodi og kvanteoscillatoren

I faserommet (x,v) følger en ideell harmonisk oscillator en lukket ellipse; demping lager en spiral innover. I koblede systemer kan bevegelsen deles i normalmodi der alle koordinater svinger med én felles frekvens og faste amplitudeforhold. Dette er grunnlaget for analyse av molekylvibrasjoner, krystaller og bølgesystemer.

I kvantemekanikken har harmonisk oscillator diskrete energier E_n = (n + ½)ħω. Selv grunntilstanden n = 0 har nullpunktsenergien ½ħω. Den klassiske og kvantemekaniske modellen deler samme kvadratiske potensial, men beskriver energi og tilstand på ulike måter.

Forsøk og øvelse

Mål perioden for flere amplituder med samme masse og fjær. Hvis modellen er lineær, bør T være omtrent uavhengig av A så lenge fjæren følger Hookes lov og dempingen er liten. En systematisk amplitudeavhengighet er et tegn på ikke-linearitet eller andre modellbrudd.

Hva skjer når amplituden dobles?

I en ideell masse–fjær-oscillator dobles amplituden A mens m og k er uendret. Hva skjer med perioden og totalenergien?