Osilator harmonik

Pendekatan di dekat kesetimbangan

Jika energi potensial V(x) memiliki minimum stabil di x=x₀, maka V′(x₀)=0. Untuk simpangan kecil ξ=x−x₀, V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ², sehingga F≈−V″(x₀)ξ. Gaya pemulih sebanding dengan simpangan dan mengarah kembali ke kesetimbangan. Dengan k_eff=V″(x₀), gerak lokal menjadi harmonik. Inilah alasan matematika yang sama muncul pada vibrasi molekul, kisi kristal, rangkaian listrik, resonator akustik, suspensi, dan mode normal. Untuk pegas ideal, F=−kx sehingga m x¨+kx=0 dan ω=√(k/m).

Gerak, periode, dan fase

Solusi umumnya x(t)=A cos(ωt+φ). A adalah amplitudo dan φ konstanta fase yang ditentukan kondisi awal. f=ω/(2π) dan T=2π/ω=2π√(m/k). Pada osilator linear ideal, periode tidak bergantung amplitudo. v=−Aω sin(ωt+φ) dan a=−ω²x. Di titik balik x=±A, v=0 sementara |a| maksimum; di kesetimbangan x=0, percepatan sesaat nol tetapi kelajuan maksimum. v_max=Aω dan a_max=Aω². Fase menyatakan posisi sistem dalam siklus.

Proyeksi gerak melingkar beraturan pada satu diameter memberi x=A cos(ωt+φ), tepat seperti gerak harmonik sederhana. Sudut rotasi membuat fase mudah divisualkan dan menunjukkan bahwa sinus dan kosinus hanya berbeda dalam pilihan asal waktu. Pada gelombang dan osilator terkopel, beda fase mengendalikan interferensi, transfer energi, dan pola kolektif.

Energi

Untuk pegas, U=½kx² dan K=½mv². Tanpa redaman, E=K+U=½kA² konstan. Di titik balik seluruh energi mekanik berupa potensial; saat melewati kesetimbangan energi kinetik maksimum. K dan U saling bertukar selama siklus tetapi totalnya tetap pada model ideal.

Perhitungan dan pegas vertikal

Bandul dan batas pendekatan

Bandul sederhana memiliki torsi pemulih sebanding dengan sinθ, bukan θ, sehingga persamaan tepatnya nonlinier. Untuk sudut kecil dalam radian, sinθ≈θ dan diperoleh T≈2π√(L/g). Pada amplitudo besar periode sedikit meningkat. Bandul sudut besar, pegas yang diregangkan kuat, dan banyak vibrasi molekul nyata bersifat anharmonik: frekuensi dapat bergantung amplitudo dan bentuk gelombang dapat menyimpang dari sinus. Osilator harmonik kuat karena merupakan pendekatan terdepan dekat kesetimbangan stabil.

Redaman dan resonansi

Model redaman yang umum adalah m x¨+b x˙+kx=0. Pada redaman lemah sistem tetap berosilasi sambil amplitudonya turun; redaman kritis mengembalikan sistem ke kesetimbangan paling cepat tanpa berosilasi; redaman berlebih kembali lebih lambat. Dengan gaya pemaksa periodik, m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). Setelah transien hilang, respons mengikuti frekuensi pemaksa dan menjadi besar dekat frekuensi alami: resonansi. Redaman membatasi puncak dan memperlebarnya. Resonansi tidak menciptakan energi; gaya pemaksa memasok energi secara koheren dari siklus ke siklus. Q besar berarti redaman kecil, puncak sempit, dan peluruhan osilasi bebas lambat.

Mode normal dan model kuantum

Pada ruang fase x–v, konservasi ½mv²+½kx²=E menghasilkan elips tanpa redaman; redaman mengubahnya menjadi spiral ke dalam. Beberapa derajat kebebasan yang terkopel dapat diuraikan menjadi mode normal, masing-masing dengan frekuensi karakteristik dan pola ruang tetap. Dawai, bandul terkopel, dan kisi kristal menggunakan ide ini; vibrasi kisi terkuantisasi pada padatan menghasilkan fonon. Dalam mekanika kuantum, V=½mω²x² tetap sama tetapi energinya diskret: E_n=(n+½)ħω. Tingkat berjarak ħω dan keadaan dasar tetap memiliki energi titik nol ½ħω.

Uji eksperimen dan latihan

Untuk menguji apakah sistem nyata mendekati harmonik, periksa apakah grafik a terhadap x berupa garis lurus berslope negatif a=−ω²x, apakah periode hampir tidak bergantung amplitudo pada rentang kecil, apakah x(t) mendekati sinus, dan apakah K+U hampir konstan jika redaman dapat diabaikan. Ini menjadikan model sebuah klaim fisika yang dapat diuji.

Mengubah amplitudo

Untuk m=0,80 kg dan k=50 N·m⁻¹, apakah menggandakan amplitudo mengubah periode ideal? Apa yang terjadi pada v_max dan energi?