Harmonický oscilátor

Přiblížení v okolí rovnováhy

Pro ideální pružinu platí F = −kx. Znaménko minus říká, že síla míří proti výchylce. Newtonův zákon vede k d²x/dt² + ω²x = 0, kde ω = √(k/m).

Stejný tvar vzniká jako první přiblížení hladkého potenciálu poblíž stabilního minima. Proto se harmonický oscilátor objevuje v mechanice, molekulových vibracích i elektrických obvodech.

Řešení, perioda a fáze

Poloha má tvar x(t) = A cos(ωt + φ). A je amplituda a φ určuje stav cyklu v počátečním okamžiku. Platí f = ω/(2π) a pro pružinu T = 2π√(m/k).

Větší m prodlužuje periodu, větší k ji zkracuje. Nezávislost periody na amplitudě je vlastností lineárního modelu, nikoli každého skutečného oscilátoru.

Rychlost a zrychlení

Derivací získáme v = −Aω sin(ωt + φ) a a = −ω²x. V krajních polohách je v = 0 a |a| největší; v rovnováze je x = a = 0 a rychlost má maximum.

Maximální hodnoty jsou v_max = Aω a a_max = Aω². Fáze vysvětluje rozdíl mezi dvěma oscilátory se stejnou amplitudou a frekvencí.

Energie

Pro pružinu U = ½kx² a K = ½mv². Bez disipace je E = K + U = ½kA² konstantní. V krajních polohách je energie potenciální, v rovnováze převážně kinetická.

Průběžná výměna K a U poskytuje užitečnou kontrolu: ideální oscilátor nemůže mít maximální rychlost v místě, kde se na okamžik zastavuje.

Svislá pružina

Gravitace prodlouží pružinu do rovnováhy kx_eq = mg. Měříme-li výchylku ξ od této nové rovnováhy, dostaneme opět mξ¨ + kξ = 0.

Gravitace tedy posune střed kmitání, ale v ideálním lineárním modelu nezmění ω = √(k/m).

Kyvadlo a malé úhly

Přesná vratná složka u kyvadla obsahuje sin θ, takže rovnice je nelineární. Pro malé úhly v radiánech sin θ ≈ θ a potom T ≈ 2π√(L/g).

S rostoucí amplitudou se perioda mírně prodlužuje. Silně deformované pružiny a mnoho molekulových vibrací jsou rovněž anharmonické.

Tlumení a rezonance

Reálné ztráty lze modelovat členem b x˙: m x¨ + b x˙ + kx = 0. Slabé tlumení zmenšuje amplitudu, kritické tlumení vrací systém nejrychleji bez překmitu.

Při periodickém buzení může být odezva největší poblíž vlastní frekvence. Rezonance nevytváří energii; buzení ji dodává po cyklech a tlumení omezuje a rozšiřuje rezonanční vrchol.

Fázový obraz a meze linearizace

Graf v proti x tvoří u netlumeného harmonického oscilátoru uzavřenou elipsu, protože ½mv² + ½kx² je konstantní. Při tlumení se křivka stáčí dovnitř, protože mechanická energie postupně klesá.

Lineární model je vhodný jen tehdy, když vyšší členy vratné síly zůstávají malé. Pokud se frekvence mění s amplitudou nebo průběh výrazně přestává být sinusový, je třeba použít anharmonický model.

Řešené příklady

1. m = 0,50 kg, k = 200 N/m

2. Perioda

3. Energie při A = 0,040 m