Хармонијски осцилатор

Зашто се хармонијско кретање јавља близу стабилне равнотеже

Нека је ξ мало померање од стабилне равнотеже. Тејлоров развој потенцијалне енергије даје V(ξ) ≈ V₀ + ½V″(0)ξ²: први извод је у равнотежи нула, а други позитиван. Зато је F ≈ −k_effξ. За идеалну опругу F = −kx и m x¨ + kx = 0.

Ова локална параболична апроксимација објашњава зашто мале механичке осцилације, молекулске вибрације, електрична кола и многи таласни модови имају исту математику. Код великих амплитуда виши чланови потенцијала постају важни и кретање је анхармонијско.

Кретање, период и фаза

Решење је x(t) = A cos(ωt + φ), где је ω = √(k/m). f = ω/(2π), а T = 2π√(m/k). Брзина је v = −Aω sin(ωt+φ), убрзање a = −ω²x, па су v_max = Aω и a_max = Aω².

Фаза показује положај у циклусу. Два осцилатора исте ω могу имати различиту фазу. Хармонијско кретање може се тумачити и као пројекција равномерног кружног кретања на једну осу.

Енергија се размењује између кинетичке и потенцијалне

За идеални непригушени осцилатор U = ½kx², K = ½mv², а E = ½kA² је константна. У крајњим положајима x = ±A брзина је нула, док је у равнотежи кинетичка енергија највећа.

Двострука амплитуда даје четири пута већу укупну енергију, али у идеалном линеарном моделу не мења период. Енергетска и временска скала нису исто.

Прорачун и вертикална опруга

Решени прорачун

За m = 0,50 kg, k = 200 N m⁻¹ и A = 0,040 m: ω = 20 rad s⁻¹, T = 0,314 s, v_max = 0,80 m s⁻¹, a_max = 16 m s⁻² и E = 0,160 J.

Вертикална опруга

Гравитација помера равнотежу тако да kx_eq = mg. Ако се координата мери од новог равнотежног положаја, поново важи mξ¨ + kξ = 0. Тежина мења положај равнотеже, али не и ω = √(k/m) малих осцилација.

Клатно: хармонијско само за мале углове

За просто клатно повратни момент зависи од sin θ. Када је |θ| мало, sin θ ≈ θ и T ≈ 2π√(L/g). При већој амплитуди период расте и кретање више није строго хармонијско. Апроксимација малог угла је ограничење модела.

Пригушење, принуда и резонанција

Са линеарним пригушењем m x¨ + b x˙ + kx = 0. Слабо пригушење даје опадајуће осцилације; критично најбржи повратак без прекорачења; јако пригушење спорији повратак. Са периодичном силом m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt) одзив је велики близу сопствене фреквенције.

Резонанција у стварном систему не значи бесконачну амплитуду. Пригушење, нелинеарност и коначно време побуде ограничавају одзив. Фактор квалитета Q описује оштрину резонантног врха.

Фазни простор, нормални модови и квантни осцилатор

У фазном простору (x,v) идеални осцилатор описује затворену елипсу, док пригушење даје спиралу ка унутра. Код спрегнутих система кретање се разлаже на нормалне модове са заједничком модном фреквенцијом и фиксним односима амплитуда.

У квантној механици енергије су E_n = (n + ½)ħω. Основно стање n = 0 има енергију нулте тачке ½ħω. Класични и квантни модел деле исти квадратни потенцијал, али не исту структуру дозвољених енергија.

Оглед и задатак

Измерите период за више амплитуда са истом масом и опругом. Линеарни модел предвиђа приближно исти T док важи Хуков закон и пригушење је мало. Систематска зависност од A открива нелинеарност.

Шта се дешава када се амплитуда удвостручи?

У идеалном осцилатору маса–опруга амплитуда A се удвостручи, а m и k остају исти. Шта се дешава са T и E?