조화 진동자
조화 진동자는 단순히 “용수철에 매단 물체”가 아닙니다. 안정 평형에서 조금 벗어난 계를 설명하는 가장 기본적인 근사이기 때문에 서로 다른 많은 물리계에서 같은 수학이 나타납니다.
평형 근처의 근사
퍼텐셜 에너지 V(x)가 x=x₀에서 안정한 최소값을 가지면 V′(x₀)=0입니다. 작은 변위 ξ=x−x₀에 대해 V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ²이므로 F≈−V″(x₀)ξ. 즉 복원력은 변위에 비례하고 평형점 쪽을 향합니다. keff=V″(x₀)라 두면 국소 운동이 조화 진동자가 됩니다. 그래서 분자 진동, 결정 격자, 전기 회로, 음향 공진기, 서스펜션과 복잡한 계의 정상모드에서 같은 수학이 나타납니다. 이상적인 용수철에서는 F=−kx, 따라서 m x¨+kx=0, ω=√(k/m)입니다.
운동, 주기와 위상
일반해는 x(t)=A cos(ωt+φ). A는 진폭, φ는 초기조건이 정하는 위상상수입니다. f=ω/(2π), T=2π/ω=2π√(m/k). 이상적인 선형 진동자에서는 주기가 진폭에 의존하지 않습니다. 속도와 가속도는 v=−Aω sin(ωt+φ), a=−ω²x. 반환점 x=±A에서는 v=0이고 |a|가 최대이며, 평형점 x=0에서는 복원력과 가속도는 순간 0이지만 속력은 최대입니다. vmax=Aω, amax=Aω². 위상은 한 주기 중 어디에 있는지를 나타냅니다.
등속 원운동을 한 지름에 투영하면 x=A cos(ωt+φ)가 되어 단순 조화 운동과 정확히 같은 형태가 됩니다. 회전각을 위상으로 보면 사인과 코사인이 시간 원점만 다른 같은 운동이라는 점이 분명해집니다. 파동과 결합 진동자에서는 위상차가 간섭, 에너지 전달, 집단 패턴을 결정합니다.
위상 탐색기
에너지
용수철 진동자의 퍼텐셜 에너지는 U=½kx², 운동에너지는 K=½mv². 감쇠가 없으면 E=K+U=½kA²로 일정합니다. 반환점에서는 에너지가 모두 퍼텐셜 에너지이고, 평형점을 지날 때 운동에너지가 최대입니다. 한 주기 안에서 K와 U가 계속 교환되지만 총에너지는 보존됩니다.
계산과 수직 용수철
계산 예
m=0.50 kg, k=200 N·m⁻¹, A=0.040 m이면 ω=20 rad·s⁻¹, T≈0.314 s, vmax=0.80 m·s⁻¹, amax=16 m·s⁻², E=0.160 J입니다. 하나의 모형이 시간 척도, 운동학, 에너지를 함께 예측합니다.
수직 용수철
중력은 용수철을 kxeq=mg가 될 때까지 늘려 새 평형점을 만듭니다. 그 평형점에서 변위 ξ를 재면 mξ¨+kξ=0은 그대로입니다. 따라서 같은 m과 k라면 수직·수평 용수철의 ω=√(k/m)는 같고, 중력은 진동 중심만 옮깁니다.
진자와 근사의 한계
단진자의 복원 토크는 θ가 아니라 sinθ에 비례하므로 정확한 식은 비선형입니다. 작은 각을 라디안으로 쓰면 sinθ≈θ가 되어 T≈2π√(L/g). 진폭이 커지면 주기가 조금 증가합니다. 큰 각도의 진자, 크게 늘어난 용수철, 실제 분자 진동처럼 고차항이 중요해지면 주파수가 진폭에 의존하거나 파형이 사인에서 벗어납니다. 조화 진동자는 모든 진동이 완벽한 조화 운동이어서가 아니라 안정 평형 근처의 선도 근사이기 때문에 강력합니다.
감쇠와 공명
마찰, 항력, 전기 저항을 포함한 대표식은 m x¨+b x˙+kx=0입니다. 약한 감쇠에서는 진폭이 줄며 진동하고, 임계감쇠에서는 진동하지 않으면서 가장 빠르게 평형으로 돌아오며, 과감쇠에서는 더 느리게 돌아옵니다. 주기 외력을 가하면 m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ωdt). 과도응답 뒤에는 구동 주파수로 응답하고 자연주파수 근처에서 진폭이 커지는 공명이 나타납니다. 감쇠가 클수록 공명 피크는 낮고 넓습니다. 공명은 에너지가 저절로 생기는 현상이 아니라 구동력이 적절한 위상으로 매 주기 에너지를 공급하는 현상입니다. Q가 큰 약감쇠 계는 피크가 좁고 자유진동이 오래 지속됩니다.
정상모드와 양자 모형
위치 x와 속도 v를 그린 위상공간에서 무감쇠 에너지식 ½mv²+½kx²=E는 타원을 만듭니다. 감쇠가 있으면 안쪽으로 감기는 나선이 됩니다. 여러 자유도가 결합된 작은 운동은 보통 정상모드로 분해할 수 있고, 각 모드는 하나의 고유주파수와 고정된 공간 패턴을 가집니다. 줄, 결합 진자, 결정 격자가 이 개념을 사용하며 고체의 양자화된 격자 진동은 포논입니다. 양자역학에서도 V=½mω²x²이지만 에너지는 En=(n+½)ħω로 이산적이고 바닥상태에도 영점에너지 ½ħω가 남습니다.
실험 검증과 연습
실제 계가 조화 진동에 가까운지 확인하려면 모양만 보지 말고 a 대 x 그래프가 a=−ω²x의 직선인지, 작은 진폭 범위에서 주기가 거의 일정한지, x(t)가 거의 사인파인지, 감쇠가 작을 때 K+U가 거의 일정한지 측정할 수 있습니다. 이런 검사가 조화 진동자 모형의 적용 범위를 실험적으로 확인해 줍니다.
진폭 변화
m=0.80 kg, k=50 N·m⁻¹인 이상적 진동자에서 진폭을 두 배로 하면 주기는 변합니까? vmax와 에너지는 어떻게 됩니까?
풀이
T=2π√(m/k)≈0.795 s로 변하지 않습니다. vmax는 두 배, E=½kA²는 네 배가 됩니다.