简谐振子

平衡点附近的近似

设势能 V(x) 在 x = x₀ 处有稳定极小值，则 V′(x₀)=0。令小位移 ξ=x−x₀，泰勒展开的首个非恒定项为 V(x) ≈ V(x₀)+½V″(x₀)ξ²。因此 F ≈ −V″(x₀)ξ：回复力与位移成正比且指向平衡点。写成 k_eff=V″(x₀)，就得到局部谐振子。这个理由解释了为什么同样的数学会出现在分子振动、晶格、电路、声学谐振器、悬架和耦合系统的正常模中。对于理想一维弹簧，F=−kx，于是 m x¨ + kx = 0，自然角频率 ω=√(k/m)。负号体现了真正的物理：位移向右时，加速度向左。

运动、周期与相位

方程 x¨+ω²x=0 的通解是 x(t)=A cos(ωt+φ)。A 是振幅，φ 是由初始条件决定的相位常数；f=ω/(2π)，T=2π/ω=2π√(m/k)。理想线性振子中，周期与振幅无关，但非线性明显时这一结论会失效。速度与加速度分别为 v=−Aω sin(ωt+φ)、a=−ω²x。转折点 x=±A 处 v=0 而 |a| 最大；平衡点 x=0 处回复力和加速度瞬时为零，但速率最大。最大值为 v_max=Aω、a_max=Aω²。相位说明振子处在周期的哪个位置：两个振子即使 A 和 ω 相同，也可能因为 φ 不同而处于完全不同的状态。

把匀速圆周运动在一条直径上的投影取出来，就得到 x=A cos(ωt+φ)。这个几何图像把“相位”变成可视的角度，也说明正弦和余弦只是选择时间零点不同的同一种运动。在波和耦合振子中，相位差控制干涉、能量传递和集体模式。

能量

弹簧振子的势能为 U=½kx²，动能为 K=½mv²。无阻尼时 E=K+U=½kA² 保持不变。转折点上能量全部为势能；经过平衡点时势能最小、动能最大。理想谐振子可以看成不断在 K 与 U 之间交换能量的系统，但总能量不变。

计算与竖直弹簧

摆与近似的极限

单摆的回复力矩与 sinθ 成正比，而不是 θ，所以精确方程是非线性的。只有当 θ 很小且用弧度表示时，sinθ≈θ，才得到近似的谐振方程和 T≈2π√(L/g)。振幅较大时周期会略微增加。大角度摆、强烈拉伸的弹簧以及许多真实分子振动都是非谐的：频率可能依赖振幅，波形也不再严格为正弦。谐振子之所以强大，是因为它是稳定平衡附近的首要近似，而不是因为所有振动在所有振幅下都完美谐和。

阻尼与共振

真实系统会有摩擦、阻力或电阻。常见模型为 m x¨ + b x˙ + kx = 0。弱阻尼时仍会振荡但振幅衰减；临界阻尼使系统在不振荡的条件下最快回到平衡；过阻尼则更慢地回到平衡。若外力周期驱动，m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt)。暂态消失后系统按驱动频率响应；当驱动接近自然频率时响应会变大，即共振。阻尼限制峰值并使共振峰变宽。共振不是“凭空产生能量”，而是驱动力在合适相位下逐周期输入能量。轻阻尼系统的品质因数 Q 大、峰窄，自由振荡衰减慢；强阻尼系统 Q 较小、响应更宽。

正常模与量子模型

如果把速度 v 对位置 x 作图，理想无阻尼振子的能量守恒 ½mv²+½kx²=E 给出相空间中的椭圆。阻尼会把闭合椭圆变成向内螺旋。多个自由度耦合时，小振动通常可以分解成 正常模：每个模式都有一个特征频率，整个系统以固定的空间图样振动。弦、耦合摆和晶格都使用这一思想；固体中量子化的晶格振动对应声子。量子力学中势能仍为 V=½mω²x²，但能量离散：E_n=(n+½)ħω。相邻能级间隔为 ħω，而且基态仍有零点能 ½ħω。

实验检验与练习

判断一个真实系统是否近似简谐，不能只看“像不像正弦”。可以检验：a 对 x 的图是否是过原点的负斜率直线 a=−ω²x；在适当的小振幅范围内周期是否近似不随振幅变化；位置随时间是否近似正弦；若阻尼可忽略，弹簧系统的 K+U 是否近似守恒。这些可测量判据把模型变成可检验的物理陈述。

改变振幅

m=0.80 kg、k=50 N·m⁻¹。把振幅加倍会改变理想周期吗？v_max 和总能量怎样变化？