Harmoninen oskillaattori

Miksi harmoninen liike syntyy vakaan tasapainon lähellä

Olkoon ξ pieni poikkeama vakaasta tasapainosta. Potentiaalienergian Taylor-kehitelmä antaa V(ξ) ≈ V₀ + ½V″(0)ξ²: ensimmäinen derivaatta on tasapainossa nolla ja toinen positiivinen. Siksi F ≈ −k_effξ. Ideaalijouselle F = −kx ja m x¨ + kx = 0.

Tämä paikallinen paraabelimuoto selittää, miksi pienet mekaaniset värähtelyt, molekyylivibraatiot, sähköiset resonanssipiirit ja monet aaltomoodit noudattavat samaa matematiikkaa. Suurilla poikkeamilla potentiaalin korkeammat termit tekevät liikkeestä anharmonista.

Liike, jaksonaika ja vaihe

Ratkaisu on x(t) = A cos(ωt + φ), missä A on amplitudi ja φ alkuvaihe. ω = √(k/m), f = ω/(2π) ja T = 2π√(m/k). Nopeus on v = −Aω sin(ωt+φ), kiihtyvyys a = −ω²x, joten v_max = Aω ja a_max = Aω².

Vaihe kertoo kohdan värähtelykierrossa. Samalla ω:lla värähtelevillä järjestelmillä voi olla eri vaihe. Harmoninen liike voidaan nähdä myös tasaisen ympyräliikkeen projektiona yhdelle akselille.

Energia vaihtuu kineettisen ja potentiaalisen välillä

Ideaalisessa vaimentamattomassa jousioskillaattorissa U = ½kx², K = ½mv² ja kokonaisenergia E = ½kA² pysyy vakiona. Kääntöpisteissä x = ±A nopeus on nolla, ja tasapainossa kineettinen energia on suurimmillaan.

Kun amplitudi kaksinkertaistuu, kokonaisenergia nelinkertaistuu, vaikka jaksonaika ei muutu lineaarisessa ideaalissa mallissa. Energia-asteikko ja aika-asteikko käyttäytyvät siis eri tavoin.

Laskenta ja pystysuora jousi

Laskuesimerkki

Kun m = 0,50 kg, k = 200 N m⁻¹ ja A = 0,040 m, saadaan ω = 20 rad s⁻¹, T = 0,314 s, v_max = 0,80 m s⁻¹, a_max = 16 m s⁻² ja E = 0,160 J.

Pystysuora jousi

Painovoima siirtää tasapainon kohtaan kx_eq = mg. Kun koordinaatti mitataan tästä uudesta tasapainosta, yhtälö on jälleen mξ¨ + kξ = 0. Painovoima muuttaa tasapainoasemaa mutta ei pienen värähtelyn ω = √(k/m).

Heiluri: harmoninen vain pienen kulman rajalla

Yksinkertaisen heilurin palauttava momentti sisältää sin θ:n. Kun |θ| on pieni, sin θ ≈ θ ja T ≈ 2π√(L/g). Suuremmalla amplitudilla jaksonaika kasvaa ja liike poikkeaa harmonisesta. Pienen kulman ehto on siis mallin oletus.

Vaimennus, pakotus ja resonanssi

Lineaarisesti vaimennetulle järjestelmälle m x¨ + b x˙ + kx = 0. Alivaimennettu liike värähtelee pienenevällä amplitudilla, kriittinen vaimennus palautuu nopeasti ilman ylitystä ja ylivaimennettu hitaammin ilman värähtelyä. Jaksollisella voimalla m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt) vaste kasvaa luonnollisen taajuuden lähellä.

Resonanssi ei tarkoita ääretöntä amplitudia todellisessa laitteessa. Vaimennus, epälineaarisuus ja rajallinen ajoaika rajoittavat vastetta. Laatukerroin Q kuvaa usein resonanssihuipun terävyyttä.

Vaiheavaruus, normaalimuodot ja kvanttioskillaattori

Vaiheavaruudessa (x,v) ideaalinen oskillaattori kulkee suljettua ellipsiä, kun taas vaimennus muodostaa sisäänpäin kiertyvän spiraalin. Kytkettyjen oskillaattorien liike voidaan jakaa normaalimuotoihin, joissa kaikki koordinaatit värähtelevät samalla mooditaajuudella kiintein amplitudisuhtein.

Kvanttimekaniikassa harmonisen oskillaattorin energiat ovat E_n = (n + ½)ħω. Perustilallakin on nollapiste-energia ½ħω. Klassinen ja kvanttimalli käyttävät samaa kvadraattista potentiaalia mutta eri käsitystä sallituista energioista.

Koe ja harjoitus

Mittaa jaksonaika usealla amplitudilla samalla massalla ja jousella. Lineaarisen mallin mukaan T pysyy lähes samana niin kauan kuin Hooken laki pätee ja vaimennus on pieni. Selvä amplitudiriippuvuus paljastaa epälineaarisuutta.

Mitä amplitudin kaksinkertaistuminen muuttaa?

Ideaalisen massa–jousi-oskillaattorin amplitudi kaksinkertaistetaan, mutta m ja k pysyvät samoina. Mitä tapahtuu jaksonajalle ja energialle?