Harmoninen oskillaattori
Harmonisessa oskillaattorissa palauttava voima on verrannollinen poikkeamaan ja vastakkaissuuntainen: F=−kx. Ideaaliselle jousi-massa-järjestelmälle liike on sinimuotoista ja ω=√(k/m), T=2π√(m/k).
Liikeyhtälö
Newtonin laki antaa mx¨=−kx eli x¨+ω²x=0. Ratkaisut ovat sinin ja kosinin yhdistelmiä. Vaihe ja amplitudi määräytyvät alkuarvoista.
Periodi
T kasvaa massan neliöjuurena ja pienenee jousivakion neliöjuurena. Ideaalisessa lineaarisessa mallissa periodi ei riipu amplitudista.
Energia
E=½mv²+½kx² on vakio ilman vaimennusta. Kääntöpisteessä v=0 ja energia on jousessa; tasapainokohdassa |v| on suurin ja kineettinen energia maksimaalinen.
Vaihe
Nopeus on neljännesjakson vaiheessa poikkeamaan nähden. Kun x on maksimi, v=0; kun x=0, nopeuden itseisarvo on maksimi.
Vaimennus
Kitka vähentää mekaanista energiaa. Heikosti vaimennettu systeemi värähtelee pienenevällä amplitudilla, kriittisesti vaimennettu palautuu nopeasti ilman ylitystä.
Pakotus ja resonanssi
Periodinen ulkoinen voima voi aiheuttaa resonanssin, kun taajuus on lähellä ominaisfrekvenssiä. Vaimennus määrää resonanssipiikin korkeuden ja leveyden.
Miksi malli on yleinen
Lähellä sileän potentiaalin stabiilia minimiä potentiaali voidaan approksimoida paraabelilla. Siksi monet mekaaniset, molekyyliset ja sähköiset järjestelmät käyttäytyvät pienillä poikkeamilla harmonisesti.
Pienen kulman heiluri
Yksinkertaiselle heilurille tarkka palautus riippuu sinθ:stä. Kun θ on pieni, sinθ≈θ ja liike on lähes harmoninen periodilla T≈2π√(L/g). Suuremmalla amplitudilla periodi kasvaa hieman.
Nopeus energiasta
Jos amplitudi on A, kokonaisenergia on ½kA². Paikassa x saadaan v=ω√(A²−x²). Tämä näyttää suoraan, miksi nopeus on suurin tasapainossa ja nolla kääntöpisteessä.
Kvanttiversio
Kvanttimekaanisen harmonisen oskillaattorin energiat ovat E_n=(n+½)ħω. Perustilallakin on nollapiste-energia, joten kvanttioskillaatio ei voi olla täysin levossa klassisessa mielessä.
Vaiheavaruus
Ideaalisen vaimentamattoman oskillaattorin x–v-vaihekuva on suljettu ellipsi, joka vastaa vakioenergiaa. Vaimennus tekee radasta sisäänpäin kiertyvän spiraalin. Tämä geometrinen kuva yhdistää energian, vaiheen ja vaimennuksen samaan esitykseen.
Resonanssi ei muuta ominaisfrekvenssin alkuperää
Pakotetun oskillaattorin suuri vaste syntyy ulkoisen voiman ja systeemin oman dynamiikan vuorovaikutuksesta. Ominaisfrekvenssi määräytyy edelleen massan, jäykkyyden ja muiden järjestelmäparametrien kautta. Vaimennus siirtää resonanssihuippua hieman ja rajoittaa amplitudia, mutta se ei tee resonanssista uutta erillistä voimaa. Kun pakotus poistetaan, järjestelmä jatkaa hetken omaa vaimenevaa vapaata värähtelyään.
Harjoitus
Mitä periodille tapahtuu, jos massa nelinkertaistuu?
Ratkaisu
T∝√m, joten periodi kaksinkertaistuu.