Harmoneschen Oszillator
Den harmoneschen Oszillator ass méi wéi e Modell vun enger Fieder. Hien ass déi éischt Beschreiwung fir e System, dee liicht aus engem stabile Gläichgewiicht geréckelt gëtt. Dofir fënnt een déiselwecht Mathematik bei Molekülvibratiounen, Kristaller, Circuiten, Resonatoren a mechanesche Systemer.
Approximatioun no beim Gläichgewiicht
Eng Mass un enger Fieder ass dat klassescht Bild, mee de méi déiwe Grond fir d’Universalitéit ass lokal. Huet eng glat potenziell Energie V(x) e Minimum bei x₀, dann ass V′(x₀)=0. Fir eng kleng Verrécklung ξ=x−x₀ fänkt d’Entwécklung mat V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ² un. Doraus gëtt F≈−V″(x₀)ξ: déi éischt relevant Kraaft ass proportional zur Verrécklung a weist zréck op d’Gläichgewiicht.
Mat kₑff=V″(x₀) gëtt déi lokal Beweegung harmonesch. Fir eng ideal Fieder ass F=−kx an dem Newton säi Gesetz gëtt m x¨+kx=0, also x¨+ω²x=0 mat ω=√(k/m). D’Minuszeechen ass entscheedend: eng positiv Verrécklung féiert zu enger negativer Beschleunegung an ëmgedréint.
Dowéinst kënnen kleng Molekülvibratiounen, Gitterschwingungen, LC-Circuiten, akustesch Resonatoren a Suspensioune mat der selwechter mathematescher Struktur beschriwwe ginn, och wann d’mikroskopesch Mechanisme verschidde sinn.
Beweegung, Period a Phas
D’allgemeng Léisung ass x(t)=A cos(ωt+φ). A ass d’Amplitud, ω d’Wénkelfrequenz a φ d’Phas aus den Ufanksbedéngungen. T=2π/ω=2π√(m/k) an f=1/T. Am ideale lineare Modell hänkt d’Period net vun der Amplitud of.
Duerch Ofleede kritt een v(t)=−Aω sin(ωt+φ) an a(t)=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. Bei x=±A ass v=0 an |a| maximal; bei x=0 ass d’Beschleunegung kuerz null, mee d’Vitesse maximal. D’Inertie dréit d’Mass duerch d’Gläichgewiicht.
D’Maximalwäerter sinn vₘax=Aω an aₘax=Aω². D’Amplitud seet wéi wäit de System kënnt, d’Phas wou hien am Zyklus ass. Zwee identesch Oszillatore kënne wéinst enger anerer φ zu der selwechter Zäit aner Zoustänn hunn.
Eng nëtzlech geometresch Vue ass d’Projektioun vun enger gläichméisseger Kreesbeweegung op en Duerchmiesser. Dës Projektioun erfëllt x=A cos(ωt+φ) a mécht de Begrëff Phas méi anschaulich.
Energie
Fir eng Fieder ass U=½kx² an K=½mv². Ouni Dämpfung bleift E=K+U=½kA² konstant. Um Wendepunkt ass d’Energie potenziell; am Gläichgewiicht ass d’kinetesch Energie maximal.
D’Energie wiesselt also permanent tëscht zwou Formen. Aus ½mv²+½kx²=½kA² kann een och v als Funktioun vun x bestëmmen, ouni d’Zäitofhängegkeet als éischt ze léisen.
Berechnung a vertikal Fieder
Duerchgerechent Beispill
Eng Mass vun 0,50 kg hänkt un enger Fieder mat k=200 N m⁻¹ an A=0,040 m. Et gëtt ω=20 rad s⁻¹, T≈0,314 s, vₘax=0,80 m s⁻¹, aₘax=16 m s⁻² an E=0,160 J. Ee Modell verbënnt Zäit, Beweegung an Energie.
Vertikal Fieder
D’Schwéierkraaft streckt eng vertikal Fieder bis kxₑq=mg. Dat verréckelt d’Gläichgewiicht. Moosst een ξ vun där neier Positioun aus, bleift mξ¨+kξ=0. Déi ideal vertikal an horizontal Fieder mat deemselwechte m a k hunn also déiselwecht ω: d’Gravitatioun verréckelt de Mëttelpunkt, net d’Frequenz vu klenge Schwingungen.
Pendel a Grenze vun der Approximatioun
Bei engem einfache Pendel ass d’Réckstellwierkung proportional zu sinθ an net genee zu θ. Déi exakt Gläichung ass netlinear. Fir kleng Wénkelen a Radiant gëllt sinθ≈θ, an et kënnt T≈2π√(L/g) eraus.
Bei méi grousser Amplitud gëtt d’Period e bëssen méi laang. D’Onofhängegkeet vun der Amplitud ass also eng Eegenschaft vun der lineariséierter Näherung. Grouss Pendelwénkelen, staark deforméiert Fiederen a reell Molekülvibratioune kënnen anharmonesch sinn.
De Modell ass grad do staark, wou säi Beräich kloer ass: hien ass déi éischt gutt Näherung no bei engem stabile Minimum, net d’Behauptung datt all Schwingung perfekt harmonesch ass.
Dämpfung a Resonanz
Reell Systemer verléieren Energie duerch Reiwung, Stroumungswidderstand oder elektresche Widderstand. E Standardmodell ass m x¨+b x˙+kx=0. Bei schwaacher Dämpfung schwingt de System weider mat ofhuelender Amplitud; kritesch Dämpfung bréngt en am séiersten ouni Iwwerschwéngen zréck; staark Dämpfung ass méi lues an net oszilléierend.
Mat enger periodescher Kraaft gëtt et m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ωdt). Nodeems Transiente verschwonne sinn, äntwert de System mat der Undriffrequenz. No bei der Eegefrequenz kann all Zyklus kohärent Energie bäifügen: d’stationär Amplitud klëmmt staark, dat ass Resonanz.
D’Dämpfung begrenzt de Peak a mécht en méi breet. En héije Qualitéitsfaktor Q bedeit kleng Verloschter, eng schmuel Resonanz a lues ofkléngend fräi Schwingungen. Dëst ass wichteg bei Aueren, Instrumenter, Sensoren a Resonanzcircuiten.
Normalmoden a Quantemodell
Am Phaseraum x–v beschreift en ongedämpften Oszillator eng Ellips, well ½mv²+½kx²=E. Dämpfung mécht doraus eng Spiral no bannen; en ugedriwwene System kann eng widderhuelend stationär Bunn erreechen.
Wa verschidden Oszillatore gekoppelt sinn, kann d’Beweegung an Normalmoden zerleeë ginn: kollektiv Mustere mat eegene Frequenzen. Déi Iddi féiert direkt zu Wellen an Saiten, Festkierper a Gitteren.
An der Quantemechanik huet V=½mω²x² d’Energien Eₙ=(n+½)ħω. Och de Grondzoustand huet d’Nullpunktsenergie ½ħω. De Modell beschreift als Näherung Molekülvibratiounen, Phononen a quantiséiert Felder.
Déi quadratesch Form vum Potenzial erkläert d’Universalitéit. Bei engem stabile Minimum verschwënnt de lineare Term vum V, an de quadrateschen Term ass meeschtens déi éischt relevant Korrektur. Méi héich Potenzen féieren zu Anharmonizitéit, wann d’Verrécklung net méi kleng ass.
D’Phas ass physikalesch néideg fir d’Ufanksbedéngungen. Zwee Beweegunge kënnen déiselwecht Amplitud an Frequenz hunn an awer bei t=0 duerch déi selwecht Positioun a géigesätzlech Richtung goen. φ ënnerscheet dës Zoustänn.
D’Relatioun a=−ω²x kann direkt experimentell gepréift ginn. Eng Grafik vun a géint x soll eng riicht Linn duerch den Ursprong mat Steigung −ω² ginn. Systematesch Krümmung weist, datt d’Réckstellkraaft net méi linear ass.
Resonanz erstellt keng Energie. Déi extern periodesch Kraaft mécht Aarbecht. Bei gudder Phaserelatioun kënnt pro Zyklus effizient Energie an de System; d’Dämpfung hëlt gläichzäiteg Energie eraus a bestëmmt d’stationär Amplitud.
Normalmode maachen e gekoppelte Problem méi einfach: an engem Mode schwingen all Deeler mat därselwechter Frequenz an enger fester Phasbezéiung. Eng komplizéiert Beweegung kann als Iwwerlagerung vun dëse Muster beschriwwe ginn.
Am Quantemodell ass den Ofstand tëscht Niveaue ħω. D’Nullpunktsenergie ½ħω bedeit, datt de Grondzoustand net engem klasseschen Objet entsprécht, deen exakt um Minimum roueg ass.
D’Energiebild markéiert och d’Véierelperioden: um Wendepunkt ass K=0 an U=E; no T/4 ass x=0 an K=E; no T/2 läit de géigesäitege Wendepunkt. Dëse reegelméissege Wiessel weist déiselwecht Phasinformatioun wéi x(t), v(t) an a(t).
Bei engem gedämpfte System ass √(k/m) net déi eenzeg relevant Frequenz. Schwaach Dämpfung verréckelt d’observéiert Schwingungsfrequenz liicht, an iwwer kritescher Dämpfung gëtt et guer keng periodesch Äntwert méi. D’ideal Formel ass also eng Referenz, géint déi reell Verloschter gemooss ginn.
Experiment an Übung
Experimentell soll a géint x eng riicht Linn mat negativer Steigung ginn; T soll fir kleng Amplituden bal konstant bleiwen; x(t) soll bal sinusfërmeg sinn; a K+U soll bei klenge Verloschter konstant bleiwen.
Amplitud änneren
Eng Mass vun 0,80 kg schwingt un enger Fieder mat 50 N m⁻¹. Wat geschitt mat T, vₘax an E wann d’Amplitud verduebelt gëtt?
Léisung
T=2π√(0,80/50)≈0,795 s a bleift am ideale Modell gläich. vₘax verduebelt sech. Well E=½kA², gëtt d’Energie véiermol sou grouss.