Harmonikus rezgőmozgás

Közelítés az egyensúly környezetében

Ha a sima V(x) potenciális energia x=x₀ helyen minimumot vesz fel, akkor V′(x₀)=0. Kis ξ=x−x₀ kitérésnél a Taylor-sor első lényeges tagja V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ², ezért F≈−V″(x₀)ξ.

A k_eff=V″(x₀) jelöléssel a visszatérítő erő arányos a kitéréssel és az egyensúly felé mutat. Ezért ugyanaz a matematika ír le molekularezgéseket, kristályrácsokat, mechanikai felfüggesztéseket, akusztikai és elektromos rezonátorokat.

Egy dimenzióban F=−kx. Newton II. törvényéből m d²x/dt²=−kx, azaz d²x/dt²+ω²x=0, ahol ω=√(k/m). A mínuszjel a fizikai tartalom: a gyorsulás mindig az egyensúly felé mutat.

Az F=−kx mínuszjele nem puszta jelölési részlet: azt fejezi ki, hogy a gyorsulás mindig a kitéréssel ellentétes irányú. Minél távolabb kerül a rendszer az egyensúlytól, annál nagyobb a visszatérítő gyorsulás nagysága. A lineáris törvény egy általánosabb potenciál helyi közelítése, ezért addig megbízható, amíg a magasabb rendű tagok kicsik maradnak.

Mozgás, periódusidő és fázis

Az általános megoldás x(t)=A cos(ωt+φ). A az amplitúdó, ω a körfrekvencia, φ pedig a kezdeti feltételek által meghatározott fázisállandó. f=ω/(2π), és T=2π/ω=2π√(m/k).

Ideális lineáris oszcillátornál T nem függ az amplitúdótól. Deriválással v=−Aω sin(ωt+φ) és a=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. A szélső helyzetekben v=0 és |a| maximális; az egyensúlynál x=a=0, de a sebesség maximális.

A maximumok v_max=Aω és a_max=Aω². Az amplitúdó a mozgás kiterjedését, a fázis a cikluson belüli állapotot adja meg. Egyenletes körmozgás átmérőre vett vetülete pontosan koszinuszos mozgást végez, ami szemléletessé teszi a fázist.

A szélső helyzetekben x=±A mellett v=0, miközben |a| maximális; az egyensúlyi helyzetben x=0 pillanatnyilag a visszatérítő erő és a gyorsulás nulla, de a sebesség maximális. Az oszcillátor tehát tehetetlensége miatt áthalad az egyensúlyon. A maximális értékek v_max=Aω és a_max=Aω². A fázis azt mondja meg, hol tart a rendszer a ciklusban.

Energia

Rugós oszcillátornál U=½kx², K=½mv². Csillapítás nélkül E=K+U=½kA² állandó.

A szélső helyzetekben az energia teljesen potenciális, az egyensúlynál a kinetikus energia maximális. A test azért nem áll meg az egyensúlynál, mert a tehetetlenség továbbviszi.

A mozgás geometriailag egy egyenletes körmozgás átmérőre vett vetületeként is felfogható. Ebből természetesen adódik az x=A cos(ωt+φ) alak. Két azonos frekvenciájú, de eltérő fázisú oszcillátor úgy szemléltethető, mint két, állandó szögkülönbséggel forgó vektor; ez a kép a hullámok és csatolt rezgések tárgyalásakor is hasznos.

Számítás és függőleges rugó

Kidolgozott számítás

m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹ és A=0,040 m esetén ω=20 rad·s⁻¹, T≈0,314 s, v_max=0,80 m·s⁻¹, a_max=16 m·s⁻² és E=0,160 J. Ugyanaz a modell az időzítést, a kinematikát és az energiát is megadja.

Függőleges rugó

A gravitáció addig nyújtja a rugót, amíg kx_eq=mg. Ha ξ-t ettől az új egyensúlytól mérjük, mξ¨+kξ=0. Azonos m és k mellett a függőleges és vízszintes ideális rugó ω-ja azonos; a gravitáció az egyensúly helyét tolja el, nem a kisrezgés frekvenciáját.

Az ideális rugóoszcillátorban az energia folyamatosan cserélődik a K=½mv² kinetikus és az U=½kx² rugalmas potenciális energia között. A fordulópontokban az energia teljesen potenciális, az egyensúlyon való áthaladáskor pedig a kinetikus rész maximális. Disszipáció nélkül az E=½kA² teljes mechanikai energia állandó.

Inga és a közelítés határai

Egyszerű ingánál a visszatérítő nyomaték sinθ-val arányos. Kis, radiánban mért szögeknél sinθ≈θ, így T≈2π√(L/g). Nagyobb amplitúdónál a periódusidő kissé nő.

Ha a magasabb rendű tagok már nem hanyagolhatók el, a frekvencia amplitúdófüggővé válhat és a mozgás nem lesz pontosan szinuszos. Nagy kitérésű inga, erősen megnyújtott rugó és sok molekularezgés anharmonikus. A harmonikus modell ereje abban áll, hogy stabil egyensúly közelében ez a vezető közelítés.

Függőleges rugónál a gravitáció eltolja a statikus egyensúlyi helyzetet, de az új egyensúly körüli saját körfrekvenciát nem változtatja meg: ω=√(k/m). Ez fontos különbség: egy állandó külső erő eltolhatja a rezgés középpontját anélkül, hogy megváltoztatná az effektív potenciál görbületét és a kisrezgési frekvenciát.

Csillapítás és rezonancia

Valós rendszerekben súrlódás, közegellenállás vagy elektromos veszteség von el energiát. Gyakori modell: m x¨+b x˙+kx=0. Gyenge csillapításnál a rezgés lecseng; kritikus csillapításnál a rendszer a lehető leggyorsabban tér vissza túllendülés nélkül; túlcsillapítva lassabban tér vissza.

Periodikus külső erőnél m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). A tranziens után a válasz a gerjesztő frekvenciát követi. A sajátfrekvencia közelében rezonancia lép fel. Az energia a gerjesztő forrásból érkezik, és kedvező fázisban ciklusról ciklusra épül fel.

Kis csillapításnál a Q minőségi tényező nagy, az energia sok cikluson át tárolódik. Ez órákban, hangszerekben, érzékelőkben, rádiófrekvenciás áramkörökben és optikai üregekben fontos.

Az inga pontos visszatérítő nyomatéka sinθ-t tartalmaz, nem θ-t. Kis radiánszögeknél sinθ≈θ, ekkor T≈2π√(L/g), nagyobb amplitúdónál viszont a periódus kissé megnő. Nagy kitérésű ingák, erősen megnyújtott rugók és valós molekularezgések anharmonikusak lehetnek, ezért a frekvencia amplitúdófüggővé válhat.

Normálmódusok és kvantummodell

Az x–v fázissíkon ½mv²+½kx²=E ellipszist ad csillapítatlan oszcillátorra; csillapításnál a pálya befelé spirálozik. Több csatolt szabadsági fok kis mozgása gyakran normálmódusokra bontható, amelyek mindegyikének saját frekvenciája és rögzített térbeli mintázata van.

Rezgő húrok, csatolt ingák és kristályrácsok használják ezt a gondolatot. A rács kvantált rezgései fononokhoz vezetnek. Kvantummechanikában V=½mω²x² marad, de az energia diszkrét: E_n=(n+½)ħω. A szintek távolsága ħω, és az alapállapot nullponti energiája ½ħω.

A kritikus csillapítás választja el az oszcilláló és a nem oszcilláló visszatérést: ekkor a rendszer a lehető leggyorsabban áll vissza ismételt átlendülés nélkül. Periodikus külső gerjesztésnél az állandósult válasz a gerjesztési frekvencián történik. A rezonancia nem teremt energiát; a hajtás ciklusról ciklusra megfelelő fázisban ad át energiát. Nagy Q keskenyebb rezonanciát és lassabb szabad lecsengést jelent.

Kísérleti ellenőrzés és feladat

A harmonikus közelítés ellenőrizhető: az a–x grafikon legyen közel egyenes −ω² meredekséggel; kis amplitúdóknál a periódus alig változzon; x(t) közel szinuszos legyen; kis csillapításnál K+U maradjon közel állandó.

Az amplitúdó megkétszerezése

m=0,80 kg és k=50 N·m⁻¹ mellett megváltozik-e az ideális periódusidő, ha A kétszeresére nő? Mi történik v_max-szal és az energiával?

Az x–v fázissíkon a csillapítatlan oszcillátor zárt ellipszist ír le, mert ½mv²+½kx²=E. Csillapításkor ez a görbe befelé tartó spirállá válik. Több csatolt szabadsági fok kis mozgásai normálmódusokra bonthatók, mindegyik saját karakterisztikus frekvenciával. A kvantumos oszcillátorban E_n=(n+½)ħω; a szintek egyenletesen követik egymást, az alapállapot energiája pedig ½ħω marad.