Mini-kurzus
Harmonikus rezgőmozgás
Egyszerű harmonikus rezgés akkor jön létre, amikor a kitérésből származó gyorsulás visszatérítő és arányos a kitéréssel: a=−ω²x. Ideális rugó–tömeg rendszerben Hooke törvénye, F=−kx, pontosan ilyen mozgásegyenlethez vezet.
Mit jelent a mínuszjel?
Az F=−kx mínuszjele nem „negatív erőnagyságot” jelent, hanem irányt: ha a test pozitív x irányban tér ki az egyensúlyból, a rugóerő negatív irányú, és fordítva. Ez a visszatérítő jelleg tartja fenn a rezgést. Ha az erő a kitéréssel azonos irányba mutatna, az egyensúly instabil lenne.
Időbeli alak
Az ideális megoldás x(t)=A cos(ωt+φ), ahol A az amplitúdó, φ a kezdeti fázis és ω a körfrekvencia. A sebesség negyed periódussal eltolt a kitéréshez képest: az egyensúlyi helyzetben maximális a sebesség, a fordulópontokon nulla. A gyorsulás a kitéréssel ellentétes fázisú és a fordulópontokon a legnagyobb nagyságú.
Periódusidő rugó–tömeg rendszernél
Ideális rugóra ω=√(k/m), így T=2π√(m/k). Nagyobb tömeg lassabb rezgést, merevebb rugó gyorsabbat eredményez. Az amplitúdó az ideális lineáris modellben nem szerepel a periódusidőben, ezért kis és nagyobb kitérések azonos periódussal mozognának — amíg a rugó valóban a Hooke-tartományban marad.
Energiacsere
A teljes mechanikai energia E=½kA² állandó, ha nincs csillapítás. A rugalmas potenciális energia U=½kx², a kinetikus K=½mv². Fordulópontban x=±A és K=0; egyensúlynál x=0 és K maximális. A rezgés így folyamatos energiaátalakulás a potenciális és kinetikus forma között.
Inga mint közelítő harmonikus rezgő
Egy egyszerű inga pontos mozgásegyenlete szinuszos nemlinearitást tartalmaz. Kis szögeknél azonban sinθ≈θ, ezért a mozgás közel harmonikus és T≈2π√(L/g). Nagy kitéréseknél a periódus már növekszik az amplitúdóval, vagyis a kis szögű képlet alkalmazási határát elérjük.
Csillapított rezgés
Valós rendszerben a súrlódás energiát von el, ezért az amplitúdó idővel csökken. Gyenge csillapítás mellett a rendszer tovább rezeg, de burkológörbéje lecseng. Erős csillapításnál előfordulhat, hogy oszcilláció nélkül tér vissza az egyensúlyhoz. A lengéscsillapító tervezésénél gyakran éppen a gyors, túllendülés nélküli visszatérés a cél.
Kapcsolat a hullámokkal
Sok hullámrendszer felfogható egymáshoz kapcsolt rezgők sokaságaként. Egy húr apró részei helyileg közel harmonikusan rezeghetnek, miközben a fázis térben változik és a hullámminta tovahalad. Ezért a harmonikus rezgés megértése közvetlen alap a hang, elektromágneses hullámok és kvantumos rezgésmodellek későbbi tanulásához.
Próbáld ki
Egy k=80 N/m rugóra 0,80 kg tömeg kapcsolódik. Mennyi az ideális periódusidő?
Megoldás
T=2π√(m/k)=2π√(0,80/80)=2π√0,01≈0,628 s. Az ideális lineáris modellben ez nem függ az amplitúdótól.