Harmonískur sveifill

Af hverju harmonísk hreyfing birtist nálægt stöðugu jafnvægi

Látum ξ vera litla færslu frá stöðugu jafnvægi. Taylor-nálgun gefur V(ξ) ≈ V₀ + ½V″(0)ξ² þar sem fyrsta afleiða er núll í jafnvægi og önnur jákvæð. Þá er F ≈ −k_effξ. Fyrir hugsjónafjöður gildir F = −kx og m x¨ + kx = 0.

Þessi staðbundna fleygboganálgun skýrir hvers vegna litlar vélrænar sveiflur, sameindatitringur, rafrásir og margar bylgjumyndanir fylgja sömu stærðfræði. Við stór útslög verða hærri liðir mikilvægar og hreyfingin óharmonísk.

Hreyfing, umferðartími og fasi

Lausnin er x(t) = A cos(ωt + φ), með ω = √(k/m), f = ω/(2π) og T = 2π√(m/k). Hraði er v = −Aω sin(ωt+φ) og hröðun a = −ω²x. Því v_max = Aω og a_max = Aω².

Fasinn segir hvar kerfið er í sveifluhringnum. Tveir sveiflar með sama ω geta verið úr fasa. Harmoníska hreyfingu má einnig sjá sem varp jafns hringhreyfingar á einn ás.

Orka skiptist milli hreyfi- og stöðuorku

Í hugsjóna ódeyfðum fjaðursveifli er U = ½kx², K = ½mv² og heildarorkan E = ½kA² föst. Í vendipunktum x = ±A er hraðinn núll; í jafnvægi er hraðinn mestur.

Tvöföldun amplitúðu fjórfaldar heildarorkuna en breytir ekki T í línulega líkaninu. Orkukvarðinn og tímakvarðinn eru því aðskildir eiginleikar.

Útreikningur og lóðrétt fjöður

Reiknidæmi

Fyrir m = 0,50 kg, k = 200 N m⁻¹ og A = 0,040 m fæst ω = 20 rad s⁻¹, T = 0,314 s, v_max = 0,80 m s⁻¹, a_max = 16 m s⁻² og E = 0,160 J.

Lóðrétt fjöður

Þyngd færir jafnvægið þannig að kx_eq = mg. Ef hnit er mælt frá nýja jafnvæginu verður jafnan aftur mξ¨ + kξ = 0. Þyngd breytir jafnvægisstöðu en ekki ω = √(k/m) fyrir litlar sveiflur.

Pendúll: harmonískur aðeins í smáhornamörkum

Fyrir einfaldan pendúl er endurheimtandi snúningsvægi háð sin θ. Þegar |θ| er lítið er sin θ ≈ θ og T ≈ 2π√(L/g). Við stærri amplitúðu lengist tímabilið og hreyfingin er ekki fullkomlega harmonísk.

Deyfing, drif og hermun

Með línulegri deyfingu gildir m x¨ + b x˙ + kx = 0. Lítil deyfing gefur minnkandi sveiflur, markdeyfing hraða endurkomu án yfirskots og mikil deyfing hægari endurkomu. Með reglubundnu drifi m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt) verður svörun sterk nálægt eigintíðni.

Hermun þýðir ekki óendanlega amplitúðu í raun. Deyfing, ólínuleiki og takmarkaður driftími setja mörk. Gæðastuðull Q lýsir hversu mjór og skarpur hermunartoppurinn er.

Fasarúm, eiginsveiflur og skammtasveifill

Í fasarúmi (x,v) fer hugsjóna sveifill um lokaða sporöskju en deyfing myndar spíral inn á við. Tengt sveiflakerfi má sundurgreina í eiginsveiflur þar sem hnit sveiflast með sameiginlegri tíðni og föstum hlutföllum.

Í skammtafræði eru orkustigin E_n = (n + ½)ħω. Grunnástand n = 0 hefur núllpunktsorku ½ħω. Klassíska og skammtalíkanið nota sama ferningslaga stöðuorku en ólíka orkubyggingu.

Tilraun og æfing

Mældu T fyrir nokkrar amplitúður með sama massa og fjöður. Línulegt líkan spáir nánast óbreyttu T meðan Hookes-lögmál gildir og deyfing er lítil. Kerfisbundin breyting með A bendir til ólínuleika.

Hvað gerist þegar amplitúðan tvöfaldast?

A er tvöfölduð í hugsjóna massa–fjaður-sveifli en m og k haldast. Hvað verður um T og E?