Oscillateur harmonique

Approximation près de l’équilibre

Le ressort est l’image scolaire classique, mais l’importance du modèle vient d’une idée plus profonde. Au voisinage d’un équilibre stable, un très grand nombre de systèmes physiques se comportent approximativement comme un ressort, même s’il n’y a aucun ressort réel.

Si l’énergie potentielle V(x) possède un minimum en x = x₀, alors V′(x₀) = 0. Pour un petit déplacement ξ = x − x₀, le développement limité commence par V(x) ≈ V(x₀) + ½V″(x₀)ξ². La force vaut donc F ≈ −V″(x₀)ξ. Au premier ordre utile, elle est proportionnelle au déplacement et dirigée vers l’équilibre.

C’est cette propriété qui fait réapparaître le même modèle dans les vibrations moléculaires, les réseaux cristallins, les circuits électriques, les résonateurs acoustiques et les modes propres de systèmes beaucoup plus complexes.

Pour un oscillateur idéal à une dimension, la loi de Hooke s’écrit F = −kx, avec x mesuré depuis l’équilibre et k la raideur. La deuxième loi de Newton donne :

m d²x/dt² = −kx, soit d²x/dt² + ω²x = 0 avec ω = √(k/m).

Le signe moins porte toute la physique : si x est positif, l’accélération est négative ; si x est négatif, elle est positive. Plus on s’éloigne, plus le rappel est fort.

Mouvement, période et phase

Une fonction dont la dérivée seconde est l’opposé d’elle-même à un facteur constant près est un sinus ou un cosinus. La solution générale est :

x(t) = A cos(ωt + φ).

A est l’amplitude, ω la pulsation et φ la phase initiale. La fréquence et la période valent :

f = ω/(2π) et T = 2π/ω = 2π√(m/k).

Dans le modèle linéaire idéal, la période ne dépend pas de l’amplitude. Cette propriété cesse d’être exacte dès que la force de rappel devient sensiblement non linéaire.

En dérivant, on obtient v(t) = −Aω sin(ωt + φ) et a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x.

Aux extrémités x = ±A, le mobile change de sens : v = 0 et |a| est maximal. À l’équilibre x = 0, force et accélération sont nulles à cet instant, mais la vitesse est maximale. L’inertie empêche donc le système de s’arrêter au centre.

Les maxima valent v_max = Aω et a_max = Aω².

L’amplitude dit jusqu’où va l’oscillateur. La phase indique où il se trouve dans son cycle. Deux systèmes peuvent avoir les mêmes A et ω et pourtant être dans des états très différents au même instant.

Dans les ondes et les systèmes couplés, les différences de phase commandent interférences, transferts d’énergie et formes collectives. Le petit oscillateur est donc déjà la brique mathématique des phénomènes ondulatoires.

Imaginez un point tournant uniformément sur un cercle. Sa projection sur un diamètre suit x = A cos(ωt + φ) : c’est exactement un mouvement harmonique simple.

Cette image rend la phase intuitive. Deux oscillateurs de même fréquence mais de phases différentes sont comparables à deux vecteurs tournants séparés par un angle fixe.

Énergie

Pour un ressort, l’énergie potentielle élastique vaut E_p = ½kx² et l’énergie cinétique E_c = ½mv². Sans amortissement :

E = E_c + E_p = ½kA² = constante.

Aux extrémités, toute l’énergie mécanique est potentielle et la vitesse est nulle. Au passage par l’équilibre, l’énergie cinétique est maximale. L’oscillation est un échange périodique d’énergie à total constant dans le modèle idéal.

Calcul et cas du ressort vertical

Pendule et limites de l’approximation

Pour un pendule simple, la force de rappel dépend de sin θ et non directement de θ. L’équation exacte est donc non linéaire. Lorsque θ est petit et exprimé en radians, sin θ ≈ θ, ce qui conduit à :

T ≈ 2π√(L/g).

À plus grande amplitude, la période augmente légèrement. L’indépendance de la période vis-à-vis de l’amplitude est donc une propriété du régime harmonique, pas de toute oscillation.

Lorsque les termes d’ordre supérieur du potentiel ne sont plus négligeables, le système devient anharmonique. La fréquence peut alors dépendre de l’amplitude et la forme du mouvement n’est plus parfaitement sinusoïdale.

Un pendule à grand angle, un ressort fortement déformé ou une vibration moléculaire réelle peuvent quitter le régime harmonique. Le modèle est puissant parce qu’il constitue l’approximation dominante près d’un équilibre stable, pas parce qu’il serait exact partout.

Amortissement et résonance

Frottements, traînée ou résistance électrique dissipent de l’énergie. Un modèle fréquent ajoute un terme proportionnel à la vitesse : m x¨ + b x˙ + kx = 0.

Avec un faible amortissement, le système continue d’osciller mais son amplitude décroît. À l’amortissement critique, il revient à l’équilibre aussi vite que possible sans osciller. S’il est suramorti, le retour est plus lent et sans passages répétés de part et d’autre de l’équilibre.

Avec une force extérieure sinusoïdale, l’équation devient m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt). Après disparition du régime transitoire, le système répond à la fréquence imposée.

Lorsque cette fréquence est proche de la fréquence propre, l’amplitude peut devenir grande : c’est la résonance. L’amortissement limite le pic et l’élargit. L’énergie ne vient pas de nulle part : la force extérieure l’apporte efficacement lorsque son rythme est favorable.

Un oscillateur peu amorti conserve son énergie pendant de nombreux cycles. Son facteur de qualité Q est élevé et sa résonance est étroite. Un oscillateur fortement amorti a un Q plus faible et une réponse plus large.

Cette notion est importante pour les horloges, instruments de musique, capteurs, circuits radio et cavités optiques.

Modes propres et modèle quantique

Si l’on trace v en fonction de x, la conservation ½mv² + ½kx² = E donne une ellipse pour l’oscillateur non amorti.

Avec amortissement, la trajectoire devient une spirale qui se rapproche de l’équilibre à mesure que l’énergie disparaît. Cette représentation permet de voir stabilité et dissipation d’un seul coup d’œil.

Lorsque plusieurs degrés de liberté sont couplés, les petites oscillations peuvent souvent être décomposées en modes propres. Dans chaque mode, l’ensemble du système oscille avec une fréquence caractéristique et une forme fixe.

Cordes vibrantes, réseaux cristallins et oscillateurs couplés utilisent cette idée. Les ondes deviennent alors des mouvements coordonnés d’un grand nombre d’oscillateurs.

En mécanique quantique, le potentiel reste V(x) = ½mω²x², mais les énergies permises sont :

E_n = (n + ½)ħω, n = 0, 1, 2, …

Les niveaux sont régulièrement espacés de ħω et l’état fondamental possède encore une énergie de point zéro ½ħω. La particule ne peut donc pas simplement rester immobile en x = 0 avec énergie cinétique nulle.

Ce modèle intervient dans les vibrations moléculaires, les vibrations des solides et de nombreux développements de la physique quantique.

Expérience et exercice

• Le graphe a en fonction de x est une droite de pente négative : a = −ω²x.
• La période varie peu avec l’amplitude dans le domaine testé.
• x(t) est proche d’un sinus.
• Pour un ressort peu dissipatif, E_c + E_p reste presque constante.

On peut ainsi tester le modèle au lieu de conclure « ça oscille donc c’est harmonique ».

Influence de l’amplitude

Pour m = 0,80 kg et k = 50 N m⁻¹, doubler l’amplitude change-t-il la période idéale ? Que deviennent v_max et l’énergie ?