Harmonisk oscillator
Den harmoniske oscillator er mere end en model af en fjeder. Den er den førende beskrivelse af et system, der forskydes lidt fra en stabil ligevægt. Derfor optræder den samme matematik i molekylvibrationer, krystaller, elektriske kredsløb, resonatorer og mekaniske systemer.
Tilnærmelsen nær ligevægt
En masse på en fjeder er standardbilledet, men den dybere grund til modellens universalitet er lokal. Har en glat potentiel energi V(x) et minimum ved x₀, er V′(x₀)=0. For en lille forskydning ξ=x−x₀ begynder Taylor-udviklingen som V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ². Differentiation giver F≈−V″(x₀)ξ: den første ikke-nul kraft er proportional med forskydningen og peger tilbage mod ligevægt.
Sætter vi kₑff=V″(x₀), bliver den lokale bevægelse harmonisk. For en ideal fjeder er F=−kx, og Newton giver m x¨+kx=0 eller x¨+ω²x=0 med ω=√(k/m). Minustegnet er selve genopretningen: positiv forskydning giver negativ acceleration og omvendt.
Derfor kan små molekylvibrationer, gittersvingninger, LC-kredsløb, akustiske resonatorer og affjedringer beskrives med samme matematiske struktur, selv om de mikroskopiske mekanismer er forskellige.
Bevægelse, periode og fase
Den generelle løsning er x(t)=A cos(ωt+φ). A er amplituden, ω vinkelfrekvensen og φ fasen bestemt af begyndelsesbetingelserne. T=2π/ω=2π√(m/k), og f=1/T. I den ideelle lineære model er perioden uafhængig af amplituden.
Ved differentiation fås v(t)=−Aω sin(ωt+φ) og a(t)=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. Ved x=±A er v=0 og |a| størst; ved x=0 er accelerationen kortvarigt nul, men farten størst. Inertien fører derfor systemet gennem ligevægten.
Maksimumværdierne er vₘax=Aω og aₘax=Aω². Amplituden fortæller hvor langt systemet når, fasen hvor i cyklussen det befinder sig. To oscillatorer med samme A og ω kan have forskellige øjeblikstilstande på grund af forskellig φ.
Et geometrisk billede er projektionen af jævn cirkelbevægelse på en diameter. Projektionen følger x=A cos(ωt+φ). Det gør fase intuitiv og forbinder enkeltoscillatoren med bølger og koblede systemer.
Energi
For en fjeder er U=½kx² og K=½mv². Uden dæmpning er E=K+U=½kA² konstant. Ved vendepunkterne er energien potentiel; ved ligevægt er den kinetiske energi størst.
Energien skifter løbende form uden at forsvinde. Sammenhængen ½mv²+½kx²=½kA² kan også bruges til at finde v som funktion af x uden først at løse tidsudviklingen.
Beregning og lodret fjeder
Gennemregnet eksempel
En masse på 0,50 kg sidder på en fjeder med k=200 N m⁻¹ og A=0,040 m. Da er ω=20 rad s⁻¹, T≈0,314 s, vₘax=0,80 m s⁻¹, aₘax=16 m s⁻² og E=0,160 J. Én model forbinder tidsskala, kinematik og energi.
Lodret fjeder
Tyngdekraften strækker en lodret fjeder, indtil kxₑq=mg. Det flytter ligevægtspositionen. Måles ξ fra den nye ligevægt, er ligningen stadig mξ¨+kξ=0. En ideal lodret og vandret fjeder med samme m og k har derfor samme ω: tyngdekraften flytter centrum, ikke småsvingningsfrekvensen.
Pendul og begrænsninger
Et simpelt pendul har en genoprettende virkning proportional med sinθ, ikke præcist θ. Den eksakte ligning er ikke-lineær. For små vinkler i radianer er sinθ≈θ, hvilket giver T≈2π√(L/g).
Ved større amplituder bliver perioden lidt længere. Amplitudeuafhængighed er derfor en egenskab ved den lineære tilnærmelse. Store pendulvinkler, kraftigt strakte fjedre og mange reelle molekylvibrationer er anharmoniske.
Modellen er stærk netop fordi dens grænse er tydelig: den er den ledende tilnærmelse nær et stabilt minimum, ikke en påstand om at enhver svingning ved enhver amplitude er perfekt harmonisk.
Dæmpning og resonans
Virkelige systemer mister energi gennem friktion, modstand i væsker eller elektrisk modstand. En standardmodel er m x¨+b x˙+kx=0. Ved svag dæmpning fortsætter svingningen med aftagende amplitude; kritisk dæmpning giver hurtigst tilbagevenden uden oversving; overdæmpning er langsommere og ikke-oscillerende.
Med en periodisk kraft bliver ligningen m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ωdt). Når transienterne er væk, følger svaret drivfrekvensen. Nær egenfrekvensen kan energi tilføres sammenhængende fra cyklus til cyklus, og den stationære amplitude kan blive stor: resonans.
Dæmpning begrænser og udvider toppen. En stor kvalitetsfaktor Q betyder lille dissipation, smal resonans og langsomt henfald af frie svingninger. Det er vigtigt i ure, instrumenter, sensorer, radiofrekvenskredsløb og optiske resonatorer.
Normalmoder og kvantemodel
I faseplanet x–v beskriver en udæmpet oscillator en ellipse, fordi ½mv²+½kx²=E. Dæmpning gør den lukkede kurve til en indadgående spiral; et drevet system kan nærme sig en gentaget stationær bane.
Når oscillatorer kobles, kan bevægelsen opdeles i normalmoder: kollektive mønstre med egne frekvenser. Den idé fører direkte til bølger i strenge, faste stoffer og gitre.
I kvantemekanik har potentialet V=½mω²x² energierne Eₙ=(n+½)ħω. Selv grundtilstanden har nulpunktsenergien ½ħω. Modellen bruges til molekylvibrationer, fononer i faste stoffer og kvantiserede felter.
Den kvadratiske potentialform forklarer modellens universalitet. Ved et stabilt minimum forsvinder den lineære term i V, og den kvadratiske term er normalt den første relevante. Højere potenser giver anharmoniske korrektioner, når forskydningen ikke længere er lille.
Fasen er fysisk nødvendig for at angive begyndelsesbetingelserne. To bevægelser kan have samme amplitude og frekvens og alligevel passere samme position i modsatte retninger ved t=0. φ skelner mellem disse tilstande.
Relationen a=−ω²x kan testes direkte. En graf af målt acceleration mod position bør være en ret linje gennem origo med hældning −ω². Systematisk krumning viser, at den genoprettende kraft ikke længere er lineær.
Resonans skaber ikke energi. Den eksterne periodiske kraft udfører arbejde. Når timingen passer, tilføres netto energi effektivt pr. cyklus; samtidig fjerner dæmpningen energi og bestemmer den endelige stationære amplitude.
Normalmoder opdeler et koblet system med mange frihedsgrader i simple mønstre. I hver mode svinger alle dele med samme frekvens og faste faseforhold. En kompliceret bevægelse kan dannes som en superposition af sådanne moder.
I kvantemodellen er afstanden mellem energiniveauerne ħω. Nulpunktsenergien ½ħω betyder, at grundtilstanden ikke svarer til en klassisk partikel, der står helt stille præcis i minimum.
Energibeskrivelsen viser også faseforløbet: ved et vendepunkt er K=0 og U=E; et kvart periode senere er x=0, U=0 og K=E. Efter endnu et kvart periode når systemet det modsatte vendepunkt. Denne regelmæssige energiudveksling er en anden måde at se periodens fire faser på.
I et dæmpet system er den naturlige frekvens ikke hele historien. Svag dæmpning giver en dæmpet svingningsfrekvens en smule under √(k/m), mens stærkere dæmpning kan fjerne svingningerne helt. Derfor skal “egenfrekvens” og den faktisk observerede tidsrespons holdes adskilt i reelle systemer.
Forsøg og øvelse
Forsøg kan teste modellen: a mod x bør være en ret linje med negativ hældning; perioden bør være næsten konstant ved små amplituder; x(t) bør være omtrent sinusformet; og K+U bør være konstant, når tabene er små.
Ændring af amplituden
En masse på 0,80 kg svinger på en fjeder med 50 N m⁻¹. Hvad sker der med T, vₘax og E, når amplituden fordobles?
Løsning
T=2π√(0,80/50)≈0,795 s og ændres ikke i idealmodellen. vₘax fordobles. E=½kA² bliver fire gange så stor.