Oscylator harmoniczny

Przybliżenie w pobliżu równowagi

Dla idealnej sprężyny F = −kx. Znak minus oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wychylenia, ku równowadze. Z II zasady Newtona otrzymujemy d²x/dt² + ω²x = 0 z ω = √(k/m).

Ten sam model pojawia się po rozwinięciu gładkiej energii potencjalnej w pobliżu stabilnego minimum: najniższy niezerowy wyraz jest zwykle kwadratowy, więc siła jest w pierwszym przybliżeniu proporcjonalna do wychylenia.

Rozwiązanie, okres i faza

Ruch ma postać x(t) = A cos(ωt + φ). Amplituda A określa maksymalne wychylenie, a faza φ położenie w cyklu w chwili t = 0. Częstotliwość f = ω/(2π), a dla sprężyny T = 2π√(m/k).

Większa masa wydłuża okres, większa sztywność sprężyny go skraca. W idealnym modelu amplituda nie zmienia okresu, ale własność ta zanika w wielu układach nieliniowych.

Prędkość i przyspieszenie nie osiągają maksimów razem

Różniczkując x(t), otrzymujemy v = −Aω sin(ωt + φ) oraz a = −ω²x. W punktach zwrotnych v = 0 i |a| jest maksymalne, natomiast w równowadze x = a = 0, a szybkość jest największa.

Maksymalne wartości to v_max = Aω i a_max = Aω². Faza wyjaśnia, dlaczego dwa oscylatory o tym samym A i ω mogą w tej samej chwili mieć zupełnie inne położenia i prędkości.

Energia oscylatora

Dla sprężyny U = ½kx², K = ½mv², a bez tłumienia E = K + U = ½kA² jest stała. W punktach zwrotnych cała energia mechaniczna jest potencjalna, a w równowadze energia kinetyczna jest maksymalna.

Wymiana K ↔ U zachodzi ciągle. Ten obraz pomaga sprawdzić obliczenia: prędkość nie może być maksymalna w miejscu, w którym idealny oscylator na chwilę się zatrzymuje.

Sprężyna pionowa

Grawitacja rozciąga pionową sprężynę do położenia, w którym kx_eq = mg. Jeśli mierzymy nowe wychylenie ξ od tej równowagi, równanie ruchu znów ma postać mξ¨ + kξ = 0.

Grawitacja przesuwa więc środek drgań, ale w idealnym liniowym modelu nie zmienia ω = √(k/m). To ważne rozróżnienie między położeniem równowagi a częstotliwością małych drgań.

Wahadło i granica małych kątów

Dokładna siła przywracająca wahadła zależy od sin θ, więc równanie jest nieliniowe. Dla małych kątów w radianach sin θ ≈ θ i wtedy T ≈ 2π√(L/g).

Przy większej amplitudzie okres rośnie, a ruch przestaje być dokładnie harmoniczny. Podobne odchylenia występują dla mocno rozciągniętych sprężyn i rzeczywistych drgań molekularnych.

Tłumienie i wymuszenie

Tarcie, opór lub straty elektryczne prowadzą do równania m x¨ + b x˙ + kx = 0. Przy słabym tłumieniu amplituda maleje, przy tłumieniu krytycznym układ wraca do równowagi najszybciej bez oscylacji.

Dla wymuszenia okresowego odpowiedź może silnie wzrosnąć w pobliżu częstotliwości własnej. Rezonans nie tworzy energii: źródło zewnętrzne przekazuje ją w korzystnej fazie, a tłumienie ogranicza wysokość i poszerza pik.

Przykłady rozwiązane

1. Masa 0,50 kg i k = 200 N/m

2. Okres tego oscylatora

3. Energia przy A = 0,040 m