Harmoninis osciliatorius

Artinys netoli pusiausvyros

Jei lygi potencialios energijos funkcija V(x) turi minimumą ties x=x₀, tai V′(x₀)=0. Mažam ξ=x−x₀ poslinkiui V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ², todėl F≈−V″(x₀)ξ.

Pažymėjus k_eff=V″(x₀), gaunama jėga, proporcinga poslinkiui ir nukreipta į pusiausvyrą. Dėl to tas pats modelis aprašo molekulių ir kristalų virpesius, mechanines pakabas, akustinius bei elektrinius rezonatorius.

Vienoje dimensijoje F=−kx. Iš antrojo Niutono dėsnio m d²x/dt²=−kx, arba d²x/dt²+ω²x=0, kur ω=√(k/m). Minusas reiškia, kad pagreitis visada nukreiptas atgal į pusiausvyrą.

Minusas lygybėje F=−kx nėra vien žymėjimo detalė: jis reiškia, kad pagreitis visada nukreiptas prieš poslinkį. Kuo toliau sistema nutolsta nuo pusiausvyros, tuo didesnis grąžinančio pagreičio modulis. Tiesinis dėsnis yra bendresnio potencialo lokalus artinys, todėl jis patikimas tol, kol aukštesniųjų eilių nariai išlieka maži.

Judėjimas, periodas ir fazė

Bendras sprendinys x(t)=A cos(ωt+φ). A – amplitudė, ω – kampinis dažnis, φ – pradinių sąlygų nustatyta fazė. f=ω/(2π), o T=2π/ω=2π√(m/k).

Idealiam tiesiniam osciliatoriui T nuo amplitudės nepriklauso. Diferencijuojant gauname v=−Aω sin(ωt+φ) ir a=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. Kraštinėse padėtyse v=0, |a| maksimalus; pusiausvyroje x=a=0, bet greitis didžiausias.

Didžiausios vertės v_max=Aω ir a_max=Aω². Amplitudė nusako judėjimo mastą, o fazė – vietą cikle. Tolygiai apskritimu judančio taško projekcija į skersmenį juda tiksliai kosinusoidės dėsniu, todėl padeda suprasti fazę.

Kraštinėse padėtyse x=±A greitis lygus nuliui, o |a| yra didžiausias; ties x=0 grąžinanti jėga ir pagreitis akimirksniu išnyksta, tačiau greitis yra didžiausias. Osciliatorius pusiausvyroje nesustoja — dėl inercijos ją kerta. Didžiausios vertės yra v_max=Aω ir a_max=Aω². Fazė nusako, kurioje ciklo vietoje tuo metu yra sistema.

Energija

Spyruokliniam osciliatoriui U=½kx², K=½mv². Be slopinimo E=K+U=½kA² yra pastovi.

Kraštinėse padėtyse visa mechaninė energija yra potencinė, o pusiausvyroje kinetinė energija didžiausia. Kūnas pusiausvyroje nesustoja, nes jį perneša inercija.

Judėjimą galima vaizduoti ir geometriškai: tolygiai apskritimu judančio taško projekcija į skersmenį juda pagal x=A cos(ωt+φ). Du vienodo dažnio, bet skirtingos fazės osciliatoriai atitinka du besisukančius vektorius, kuriuos skiria pastovus kampas. Šis vaizdas vėliau tiesiogiai padeda suprasti bangų interferenciją ir susietųjų osciliatorių judėjimą.

Skaičiavimas ir vertikali spyruoklė

Išspręstas skaičiavimas

Kai m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹ ir A=0,040 m, gauname ω=20 rad·s⁻¹, T≈0,314 s, v_max=0,80 m·s⁻¹, a_max=16 m·s⁻² ir E=0,160 J. Vienas modelis susieja laiką, kinematiką ir energiją.

Vertikali spyruoklė

Gravitacija ištempia vertikalią spyruoklę iki kx_eq=mg. Jei ξ matuojame nuo naujos pusiausvyros, lieka mξ¨+kξ=0. Esant tiems patiems m ir k, vertikalios ir horizontalios idealios spyruoklės ω vienodas: gravitacija perkelia pusiausvyros tašką, bet nekeičia mažų virpesių dažnio.

Idealiame spyruokliniame osciliatoriuje energija nuolat keičiasi tarp kinetinės K=½mv² ir tampriosios potencinės U=½kx². Posūkio taškuose visa mechaninė energija yra potencinė, o kertant pusiausvyrą kinetinė energija yra didžiausia. Jei nėra slopinimo, suma E=½kA² nekinta.

Švytuoklė ir artinio ribos

Paprastos švytuoklės grąžinamasis momentas proporcingas sinθ, o ne θ. Mažiems kampams radianais sinθ≈θ, todėl gauname harmoninį artinį T≈2π√(L/g). Didesnei amplitudei periodas šiek tiek didėja.

Kai aukštesni jėgos ar potencialo nariai tampa svarbūs, dažnis gali priklausyti nuo amplitudės ir judėjimas nebebūti tiksliai sinusinis. Dideli švytuoklės kampai, stipriai ištemptos spyruoklės ir realūs molekulių virpesiai yra anharmoniniai. Harmoninio modelio galia – tai jo tikslumas arti stabilios pusiausvyros.

Vertikalios spyruoklės atveju sunkio jėga pakeičia statinės pusiausvyros padėtį, bet nepakeičia savųjų mažųjų svyravimų kampinio dažnio apie naują pusiausvyrą: ω=√(k/m). Pastovi jėga gali perkelti svyravimo centrą, nekeičiant efektyviojo potencialo kreivumo ir todėl mažos amplitudės dažnio.

Slopinimas ir rezonansas

Realios sistemos praranda energiją dėl trinties, pasipriešinimo ar elektrinių nuostolių. Dažnas modelis m x¨+b x˙+kx=0. Silpnai slopinant virpesiai tęsiasi mažėjančia amplitude; kritinis slopinimas grąžina sistemą greičiausiai be persvyravimo; per didelis slopinimas grąžina lėčiau.

Periodiškai veikiant išorinei jėgai m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). Po pereinamojo proceso atsakas seka žadinimo dažnį. Kai jis artimas savam dažniui, atsiranda rezonansas. Energiją tiekia išorinis šaltinis, tinkama faze ją pridėdamas kiekviename cikle.

Silpnai slopinamo osciliatoriaus kokybės faktorius Q didelis ir energija išlieka daug ciklų. Tai svarbu laikrodžiuose, muzikos instrumentuose, jutikliuose, radijo dažnių grandinėse ir optinėse ertmėse.

Paprastojo švytuoklio tiksli grąžinanti priklausomybė turi sinθ, o ne θ. Mažiems kampams radianais sinθ≈θ, todėl T≈2π√(L/g), bet didėjant amplitudei periodas šiek tiek ilgėja. Didelio kampo švytuokliai, stipriai ištemptos spyruoklės ir tikrieji molekulių virpesiai gali būti anharmoniniai, todėl dažnis ima priklausyti nuo amplitudės.

Normaliosios modos ir kvantinis modelis

Fazių plokštumoje x–v lygtis ½mv²+½kx²=E be slopinimo duoda elipsę; slopinimas paverčia ją spirale į vidų. Kelių susietų laisvės laipsnių mažus judesius dažnai galima išskaidyti į normaliąsias modas, kurių kiekviena turi savo dažnį ir pastovų erdvinį pavidalą.

Virpančios stygos, susietos švytuoklės ir kristalų gardelės remiasi šia idėja; kvantuoti gardelės virpesiai aprašomi fononais. Kvantinėje mechanikoje V=½mω²x² išlieka, tačiau energija diskreti: E_n=(n+½)ħω. Lygmenis skiria ħω, o pagrindinė būsena turi nulinio taško energiją ½ħω.

Kritinis slopinimas yra riba tarp svyruojančio ir nesvyruojančio grįžimo: sistema pusiausvyrą pasiekia kuo greičiau jos pakartotinai nekirsdama. Esant periodinei išorinei jėgai nusistovėjęs atsakas vyksta žadinimo dažniu. Rezonansas energijos nesukuria — šaltinis ją perduoda nuosekliai, ciklas po ciklo. Didelis kokybės faktorius Q reiškia siauresnį rezonansą ir lėtesnį laisvųjų svyravimų slopimą.

Eksperimentinis patikrinimas ir uždavinys

Harmoninį artinį galima tikrinti eksperimentiškai: a(x) grafikas turėtų būti beveik tiesė su nuolydžiu −ω², mažoms amplitudėms periodas beveik nekisti, x(t) būti artimas sinusoidėms, o esant mažam slopinimui K+U išlikti beveik pastovi.

Amplitudės keitimas

Kai m=0,80 kg ir k=50 N·m⁻¹, ar padvigubinus amplitudę pasikeičia idealus periodas? Kas nutinka v_max ir energijai?

x–v fazių plokštumoje neslopinamas osciliatorius brėžia uždarą elipsę, nes ½mv²+½kx²=E. Slopinimas ją paverčia į vidų susisukančia spirale. Kelių susietų laisvės laipsnių maži judesiai gali būti išskaidyti į normaliąsias modas, turinčias savus dažnius. Kvantiniame modelyje E_n=(n+½)ħω: energijos lygmenys vienodai nutolę, o pagrindinė būsena turi nulinio taško energiją ½ħω.