Harmonijski oscilator

Aproksimacija blizu ravnoteže

Za idealnu oprugu vrijedi F = −kx. Minus znači da je sila usmjerena prema ravnoteži. Newtonov zakon vodi do d²x/dt² + ω²x = 0, gdje je ω = √(k/m).

Isti oblik dobiva se kao prvi približni opis glatkog potencijala blizu stabilnog minimuma, pa se model pojavljuje u mehanici i molekulskim vibracijama.

Rješenje, period i faza

Položaj je x(t) = A cos(ωt + φ). A je amplituda, a φ određuje položaj u ciklusu na početku. Vrijedi f = ω/(2π) i za oprugu T = 2π√(m/k).

Veća masa produljuje period, veća krutost ga skraćuje. Neovisnost perioda o amplitudi svojstvo je linearnog idealnog modela.

Brzina i ubrzanje

Deriviranjem dobivamo v = −Aω sin(ωt + φ) i a = −ω²x. U krajnjim položajima v = 0 i |a| je najveći; u ravnoteži je brzina najveća.

Maksimalne vrijednosti su v_max = Aω i a_max = Aω². Faza razlikuje oscilatore koji imaju jednake A i ω, ali su u različitim dijelovima ciklusa.

Energija

Za oprugu U = ½kx² i K = ½mv². Bez gubitaka je E = K + U = ½kA² stalna. U krajnjim položajima energija je potencijalna, a u ravnoteži je kinetička najveća.

Stalna izmjena K i U objašnjava zašto tijelo ne staje u ravnoteži nego je prolazi zbog tromosti.

Okomita opruga

Gravitacija rastegne okomitu oprugu do kx_eq = mg. Mjerimo li pomak ξ od te nove ravnoteže, ponovno dobivamo mξ¨ + kξ = 0.

Gravitacija zato pomiče središte osciliranja, ali u idealnom linearnom modelu ne mijenja ω = √(k/m).

Njihalo i mali kutovi

Točna povratna komponenta njihala sadrži sin θ, pa je jednadžba nelinearna. Za male kutove u radijanima sin θ ≈ θ i T ≈ 2π√(L/g).

Pri većim amplitudama period se malo povećava. Jako deformirane opruge i mnoge molekulske vibracije također su anharmonijske.

Prigušenje i rezonancija

Stvarni gubici mogu se opisati članom b x˙ u jednadžbi m x¨ + b x˙ + kx = 0. Slabo prigušenje smanjuje amplitudu, a kritično vraća sustav najbrže bez osciliranja.

Pri periodičnoj pobudi odziv može biti najveći blizu vlastite frekvencije. Vanjski izvor dovodi energiju, a prigušenje ograničava visinu i proširuje rezonantni vrh.

Fazni prikaz i granica linearizacije

Graf v prema x za neprigušeni harmonijski oscilator daje zatvorenu elipsu jer je ½mv² + ½kx² stalno. Uz prigušenje putanja spiralno ide prema unutra zato što mehanička energija postupno pada.

Linearni model vrijedi dok su viši članovi povratne sile mali. Ako frekvencija počne ovisiti o amplitudi ili gibanje više nije približno sinusno, potreban je anharmonijski model.

Riješeni primjeri

1. m = 0,50 kg, k = 200 N/m

2. Period

3. Energija pri A = 0,040 m