Harmonični oscilator

Harmonični oscilator ni le utež na vzmeti. Je osnovni približek za številne sisteme, ki jih malo odmaknemo od stabilnega ravnovesja, zato se ista matematika pojavlja v mehaniki, molekulah, kristalih, vezjih in valovih.

Približek v bližini ravnovesja

Če ima potencialna energija V(x) stabilni minimum pri x=x₀, je V′(x₀)=0. Za majhen odmik ξ=x−x₀ Taylorjev razvoj da V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ². Od tod F≈−V″(x₀)ξ: povratna sila je sorazmerna odmiku in usmerjena proti ravnovesju. Z oznako k_eff=V″(x₀) dobimo lokalni harmonični oscilator. Zato isti model opisuje molekulske vibracije, kristalne mreže, akustične resonatorje, vzmetenja in normalne načine bolj zapletenih sistemov. Za idealno vzmet velja F=−kx, torej m x¨+kx=0 in ω=√(k/m).

V bližini stabilnega ravnovesja lahko gladek potencial približamo s parabolo, zato je povratna sila skoraj sorazmerna odmiku.

Gibanje, perioda in faza

Rešitev enačbe x¨+ω²x=0 je x(t)=A cos(ωt+φ). A je amplituda, φ pa fazna konstanta, določena z začetnimi pogoji. Velja f=ω/(2π) in T=2π/ω=2π√(m/k). V idealnem linearnem modelu perioda ni odvisna od amplitude. v=−Aω sin(ωt+φ) in a=−ω²x. V skrajnih legah x=±A je v=0 in |a| največji; v ravnovesju x=0 sta povratna sila in pospešek za trenutek nič, hitrost pa je največja. Največji vrednosti sta v_max=Aω in a_max=Aω². Faza pove, kje v ciklu je sistem.

Projekcija enakomernega krožnega gibanja na premer je harmonično gibanje; kot vrtenja postane faza.

Projekcija enakomernega krožnega gibanja na premer ima obliko x=A cos(ωt+φ). Fazo si zato lahko predstavljamo kot kot vrtenja, sinus in kosinus pa sta le različni izbiri začetka časa. Pri valovih in sklopljenih oscilatorjih fazne razlike določajo interferenco, prenos energije in kolektivne vzorce.

Raziskovanje faze

fazni kot φ

Začetne pogoje lahko podamo z A in φ ali neposredno z x(0) in v(0). Opisa sta enakovredna: amplituda določa velikost tirnice v faznem prostoru, faza pa začetno točko na tej tirnici. V poskusu pogosto merimo prav lego in hitrost, amplitudo ter fazo pa nato izračunamo iz meritev.

Linearnost enačbe ima pomembno posledico: če sta x₁(t) in x₂(t) rešitvi z isto ω, je tudi njuna vsota rešitev. Načelo superpozicije je temelj za opis valov in normalnih načinov. Ko nelinearni členi postanejo pomembni, superpozicija ni več natančna in v gibanju se lahko pojavijo dodatne frekvence.

Energija

Za vzmetni oscilator velja U=½kx² in K=½mv². Brez dušenja je E=K+U=½kA² stalna. V skrajnih legah je vsa mehanska energija potencialna; pri prehodu skozi ravnovesje je kinetična energija največja. K in U se med ciklom izmenjujeta, njuna vsota pa ostaja v idealnem modelu nespremenjena.

Brez dušenja se potencialna in kinetična energija periodično izmenjujeta, skupna energija pa ostaja stalna.

Izračun in navpična vzmet

Primer izračuna

Za m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹ in A=0,040 m dobimo ω=20 rad·s⁻¹, T≈0,314 s, v_max=0,80 m·s⁻¹, a_max=16 m·s⁻² in E=0,160 J. Isti model tako napove časovno merilo, kinematiko in energijo.

Navpična vzmet

Težnost raztegne navpično vzmet do novega ravnovesja kx_eq=mg. Če odmik ξ merimo od te nove lege, ostane enačba mξ¨+kξ=0. Idealna navpična in vodoravna vzmet z enakima m in k imata zato enako ω=√(k/m); težnost premakne središče nihanja, ne pa frekvence majhnih nihanj.

Nihalo in meje približka

Pri preprostem nihalu je povratni navor sorazmeren s sinθ in ne s θ, zato je natančna enačba nelinearna. Šele pri majhnih kotih v radianih velja sinθ≈θ in dobimo harmonični približek T≈2π√(L/g). Pri večjih amplitudah se perioda nekoliko poveča. Nihala z velikim kotom, močno raztegnjene vzmeti in mnoge resnične molekulske vibracije so anharmonične: frekvenca je lahko odvisna od amplitude, oblika gibanja pa ni več sinusna. Harmonični oscilator je močan prav zato, ker je vodilni približek blizu stabilnega ravnovesja.

Dušenje in resonanca

Resnični sistemi izgubljajo energijo zaradi trenja, upora ali električne upornosti. Pogost model je m x¨+b x˙+kx=0. Pri šibkem dušenju sistem še niha, vendar amplituda pada; kritično dušenje ga najhitreje vrne v ravnovesje brez nihanja; predušen sistem se vrača počasneje. Pri periodični zunanji sili velja m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). Ko prehodni del izgine, sistem sledi vzbujevalni frekvenci. Blizu lastne frekvence je odziv velik — resonanca. Dušenje omeji vrh in ga razširi. Energija ne nastaja sama; vzbujevalna sila jo dovaja v primerni fazi iz cikla v cikel. Velik faktor kakovosti Q pomeni majhno dušenje, ozek resonančni vrh in počasen razpad prostega nihanja.

Manjše dušenje daje višji in ožji resonančni vrh, večje dušenje nižjega in širšega.

Pri resonanci moramo ločiti prehodni in stacionarni odziv. Takoj po vklopu vzbujanja je gibanje mešanica lastnega prostega nihanja in vsiljenega odziva. Dušenje postopoma odstrani prosti del; šele nato ostane ponavljajoči se odziv na frekvenci vzbujanja. Običajna resonančna krivulja opisuje prav ta stacionarni režim.

Faktor kakovosti Q lahko razumemo kot mero, kako dolgo sistem ohranja shranjeno energijo. Velik Q pomeni ostro frekvenčno selektivnost, kar je koristno v natančnih resonatorjih in filtrih. V mehanskih konstrukcijah pa lahko zelo velik Q povzroči nevarno velik odziv v ozkem območju okoli resonance.

Normalni načini in kvantni model

V grafu v proti x ohranitev ½mv²+½kx²=E pri nedušenem oscilatorju da elipso v faznem prostoru; dušenje jo spremeni v spiralo proti notranjosti. Ko je sklopljenih več prostostnih stopenj, lahko majhna gibanja pogosto razstavimo na normalne načine, vsak z lastno frekvenco in stalnim prostorskim vzorcem. Isto idejo uporabljamo pri struni, sklopljenih nihalih in kristalni mreži; kvantizirane vibracije mreže vodijo do fononov. V kvantni mehaniki potencial ostane V=½mω²x², energija pa je diskretna: E_n=(n+½)ħω. Sosednje ravni so narazen za ħω, osnovno stanje pa ima ničelno energijo ½ħω.

Kvantni oscilator uporablja isti parabolični potencial kot klasični model, vendar energija ne more zavzeti poljubne vrednosti. Pri velikih kvantnih številih je razmik ħω majhen v primerjavi s skupno energijo, zato se klasični opis znova pojavi kot dobra aproksimacija povprečnega vedenja.

Pomemben dopolnilni pogled daje fazni prostor, kjer namesto x(t) narišemo hitrost v glede na lego x. Pri nedušenem harmoničnem oscilatorju ohranitev energije ½mv² + ½kx² = E da zaprto elipso. Če je prisotno dušenje, se krivulja zvija navznoter, saj mehanska energija pada. Pri trajno vzbujanem sistemu se po izginotju prehodnega dela lahko vzpostavi ponavljajoča se zaprta pot.

Pri več sklopljenih prostostnih stopnjah lahko majhna nihanja pogosto razstavimo na normalne načine. V posameznem načinu ves sistem niha z eno značilno frekvenco in z nespremenjenim vzorcem relativnih amplitud. Isto orodje uporabljamo za sklopljena nihala, strune in kristalne mreže; kvantizirana mrežna nihanja vodijo do opisa s fononi.

Kvantni harmonični oscilator pokaže še eno bistveno razliko: osnovno stanje ima energijo ničelne točke ½ħω. Delec zato ne more preprosto mirovati točno v minimumu potenciala z ničelno gibalno količino. Pri velikih kvantnih številih pa se kvantni opis postopoma približuje klasičnemu, kar je primer načela korespondence.

Eksperimentalni preizkus in naloga

Model lahko preverimo z meritvami: graf a proti x mora biti približno premica z negativnim naklonom a=−ω²x; v območju majhnih amplitud je perioda skoraj neodvisna od amplitude; x(t) je blizu sinusne oblike; pri vzmeti z zanemarljivim dušenjem pa mora K+U ostati skoraj stalna. Tako harmonični model postane preverljiva fizikalna trditev.

Sprememba amplitude

Za m=0,80 kg in k=50 N·m⁻¹: ali podvojitev amplitude spremeni idealno periodo? Kaj se zgodi z v_max in energijo?

Rešitev

T=2π√(m/k)≈0,795 s ostane enaka. v_max=Aω se podvoji, E=½kA² pa se poveča štirikrat.