Oscilador harmónico

Aproximação junto do equilíbrio

Uma massa presa a uma mola é a imagem clássica, mas o oscilador harmónico é importante por uma razão mais profunda. Perto de um equilíbrio estável, uma enorme classe de sistemas físicos comporta-se aproximadamente como uma mola, mesmo quando não existe uma mola real.

Se uma energia potencial suave V(x) tiver um mínimo em x = x₀, então V′(x₀) = 0 e, para um pequeno deslocamento ξ = x − x₀, o desenvolvimento de Taylor começa por V(x) ≈ V(x₀) + ½V″(x₀)ξ². Derivando, obtém-se F ≈ −V″(x₀)ξO termo dominante da força é, portanto, proporcional ao deslocamento e aponta para o equilíbrio. Escrevendo k_ef = V″(x₀), o movimento local torna-se harmónico.

É por isso que a mesma matemática aparece em moléculas vibrantes, redes cristalinas, circuitos elétricos, ressonadores acústicos, suspensões mecânicas e modos normais de sistemas muito mais complexos.

Para um oscilador ideal unidimensional, a lei de Hooke é F = −kx, em que x é medido a partir do equilíbrio e k é a constante elástica. A segunda lei de Newton dá:

m d²x/dt² = −kx, ou d²x/dt² + ω²x = 0 com ω = √(k/m).

O sinal negativo contém a física: se x for positivo, a aceleração é negativa; se x for negativo, a aceleração é positiva. Quanto maior for o deslocamento do sistema, maior será a aceleração restauradora.

Movimento, período e fase

Uma função cuja segunda derivada é o negativo de uma constante vezes a própria função é um seno ou um cosseno. A solução geral é:

x(t) = A cos(ωt + φ)

A é a amplitude, ω a frequência angular e φ a constante de fase fixada pelas condições iniciais. A frequência e o período são:

f = ω/(2π) e T = 2π/ω = 2π√(m/k).

No oscilador linear ideal, T não depende da amplitude. Esta afirmação deixa de ser válida quando a força restauradora se torna apreciavelmente não linear.

Derivando a posição obtém-se v(t) = −Aω sin(ωt + φ) e a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x.

Em x = ±A o oscilador inverte o movimento: v = 0 e |a| é máxima. Em x = 0 a força restauradora e a aceleração anulam-se por um instante, mas a rapidez é máxima. É por isso que o oscilador não pára no equilíbrio: a inércia leva-o a atravessá-lo.

Os valores máximos são v_máx = Aω e a_máx = Aω².

A amplitude indica até onde o oscilador chega. A fase indica em que ponto do ciclo se encontra. Dois sistemas podem ter os mesmos A e ω e, ainda assim, estar em estados completamente diferentes no mesmo instante porque as suas fases diferem.

Em ondas e osciladores acoplados, as diferenças de fase determinam interferência, transferência de energia e padrões coletivos. O oscilador harmónico individual é, portanto, a base matemática que reaparece no estudo das ondas.

Imagine um ponto a mover-se uniformemente numa circunferência. Projete a sua posição sobre um diâmetro. Essa projeção move-se como x = A cos(ωt + φ): exatamente um movimento harmónico simples.

Esta imagem torna a fase intuitiva. Dois osciladores com a mesma frequência mas φ diferente são como dois vetores rotativos separados por um ângulo fixo. Também explica por que seno e cosseno descrevem o mesmo tipo de movimento para diferentes escolhas da origem do tempo.

Energia

Para um oscilador de mola, a energia potencial elástica é Eₚ = ½kx² e a energia cinética é E꜀ = ½mv². Sem amortecimento:

E = E꜀ + Eₚ = ½kA² = constante.

Nos pontos de inversão, x = ±A: toda a energia mecânica é potencial e v = 0. No equilíbrio, x = 0: a energia potencial é mínima e a cinética máxima. No modelo ideal, o oscilador troca continuamente estas duas formas de energia enquanto a energia total permanece constante.

Cálculo e mola vertical

Pêndulo e limites da aproximação

Um pêndulo simples está sujeito a um binário restaurador proporcional a sin θ, e não a θ. A equação exata é não linear. Para pequenos ângulos em radianos, sin θ ≈ θ, o que conduz a uma equação harmónica e à conhecida aproximação:

T ≈ 2π√(L/g).

Para amplitudes maiores, o período aumenta ligeiramente. A independência do período relativamente à amplitude é, portanto, uma propriedade da aproximação linear, não uma propriedade universal de todos os osciladores.

A aproximação falha quando os termos de ordem superior da força ou do potencial deixam de ser desprezáveis. A frequência pode então depender da amplitude, a forma de onda pode deixar de ser sinusoidal e podem surgir novos efeitos.

Pêndulos de grande amplitude, molas fortemente deformadas e muitas vibrações moleculares reais são anarmónicos. O oscilador harmónico é poderoso precisamente porque é a aproximação dominante perto do equilíbrio, e não porque todas as oscilações sejam perfeitamente harmónicas a qualquer amplitude.

Amortecimento e ressonância

Os sistemas reais sofrem atrito, resistência do meio ou resistência elétrica. Um modelo comum acrescenta uma força dependente da velocidade, dando m x¨ + b x˙ + kx = 0.

Com amortecimento fraco, o sistema continua a oscilar, mas a amplitude diminui. Com amortecimento crítico, regressa ao equilíbrio tão rapidamente quanto possível sem oscilar. Com um amortecimento mais forte, o movimento sobreamortecido regressa mais lentamente sem atravessar repetidamente o equilíbrio.

Estes regimes explicam por que um diapasão continua a vibrar, uma suspensão automóvel estabiliza e um fecho de porta é concebido para não oscilar.

Se atuar uma força externa oscilante, a equação torna-se m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_ft). Depois de desaparecerem os transientes, o oscilador responde à frequência de excitação ω_f.

A resposta torna-se especialmente grande quando a excitação se aproxima da frequência natural do sistema: ressonância. O amortecimento limita o pico e alarga-o. A ressonância não é «energia a aparecer do nada»: a excitação fornece energia de forma coerente, ciclo após ciclo, quando a sincronização é favorável.

Um oscilador fracamente amortecido armazena energia durante muitos ciclos. O seu fator de qualidade Q é elevado, a ressonância é estreita e as oscilações livres decaem lentamente. Um oscilador fortemente amortecido tem Q menor e resposta mais larga.

Isto é importante em relógios, instrumentos musicais, sensores, circuitos de radiofrequência e cavidades óticas, onde pode ser desejável uma ressonância muito seletiva ou, deliberadamente, uma resposta pouco ressonante.

Modos normais e modelo quântico

Representando a velocidade v em função da posição x, em vez de ambas em função do tempo, para um oscilador harmónico não amortecido a conservação de E꜀ + Eₚ = ½mv² + ½kx² = E dá uma elipse no plano x–v.

O amortecimento transforma essa elipse fechada numa espiral para o interior à medida que a energia se perde. Um oscilador continuamente forçado pode aproximar-se de uma órbita fechada repetitiva. As representações no espaço de fases mostram, assim, estabilidade e comportamento energético que podem ser menos evidentes num gráfico posição-tempo.

Quando vários graus de liberdade estão acoplados, pequenos movimentos podem muitas vezes ser decompostos em modos normais. Em cada modo, todo o sistema oscila a uma frequência característica segundo um padrão fixo.

Uma corda vibrante, uma rede cristalina e pêndulos acoplados partilham esta ideia. As ondas podem ser entendidas como oscilações coordenadas de muitos graus de liberdade; nos sólidos, vibrações quantizadas da rede originam fonões.

Na mecânica quântica o potencial mantém-se V(x) = ½mω²x², mas a energia não é contínua. Os níveis permitidos são:

E_n = (n + ½)ħω, n = 0, 1, 2, …

Os níveis estão igualmente espaçados por ħω, e até o estado fundamental possui energia de ponto zero ½ħω. A partícula não pode simplesmente permanecer em x = 0 com energia cinética exatamente nula.

Este modelo é central para vibrações moleculares, vibrações da rede, campos quânticos e muitos métodos de aproximação. O oscilador harmónico clássico não é substituído; reaparece como limite macroscópico da descrição quântica.

Experiência e exercício

• Um gráfico da aceleração em função do deslocamento é uma reta que passa pela origem com declive negativo: a = −ω²x.
• O período é aproximadamente independente da amplitude no intervalo testado.
• A posição varia no tempo de forma aproximadamente sinusoidal.
• Num oscilador de mola, E꜀ + Eₚ permanece constante se o amortecimento for desprezável.

Isto fornece um teste experimental do modelo, em vez de depender apenas da aparência do movimento.

Alterar a amplitude

Para m = 0,80 kg e k = 50 N m⁻¹, duplicar a amplitude altera o período ideal? O que acontece a v_máx e à energia?