Oscilator armonic

Aproximația în jurul echilibrului

Dacă energia potențială netedă V(x) are un minim la x=x₀, atunci V′(x₀)=0. Pentru o deplasare mică ξ=x−x₀, V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ², iar prin derivare F≈−V″(x₀)ξ.

Cu k_eff=V″(x₀), forța de revenire este proporțională cu deplasarea și orientată spre echilibru. De aceea modelul descrie vibrațiile moleculelor și cristalelor, suspensii mecanice, rezonatoare acustice și electrice.

Într-o dimensiune, F=−kx. Legea a doua a lui Newton dă m d²x/dt²=−kx, sau d²x/dt²+ω²x=0, cu ω=√(k/m). Semnul minus este esențial: accelerația este mereu orientată înapoi spre echilibru.

Semnul minus din F=−kx nu este un detaliu de notație: el arată că accelerația este întotdeauna orientată în sens opus deplasării. Cu cât sistemul este mai departe de echilibru, cu atât modulul accelerației de revenire este mai mare. Legea liniară este aproximația locală a unui potențial mai general și rămâne bună cât timp termenii de ordin superior sunt mici.

Mișcare, perioadă și fază

Soluția generală este x(t)=A cos(ωt+φ). A este amplitudinea, ω frecvența unghiulară, iar φ constanta de fază stabilită de condițiile inițiale. f=ω/(2π), iar T=2π/ω=2π√(m/k).

Pentru oscilatorul liniar ideal, T nu depinde de amplitudine. Derivând: v=−Aω sin(ωt+φ) și a=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. La capetele mișcării v=0 și |a| este maxim; la echilibru x=a=0, iar viteza este maximă.

Valorile maxime sunt v_max=Aω și a_max=Aω². Amplitudinea descrie întinderea mișcării, iar faza poziția în ciclu. Proiecția pe un diametru a unui punct aflat în mișcare circulară uniformă urmează exact o funcție cosinus și oferă o imagine geometrică a fazei.

În pozițiile extreme x=±A viteza este zero, iar |a| este maxim; la x=0 forța de revenire și accelerația se anulează pentru o clipă, dar viteza este maximă. Oscilatorul nu se oprește la echilibru: inerția îl poartă dincolo de acesta. Valorile maxime sunt v_max=Aω și a_max=Aω². Faza precizează unde se află sistemul în ciclul său la un moment dat.

Energie

Pentru un oscilator cu arc, U=½kx² și K=½mv². Fără amortizare, E=K+U=½kA² rămâne constantă.

La capetele mișcării energia mecanică este integral potențială; la echilibru energia cinetică este maximă. Corpul nu se oprește în echilibru deoarece inerția îl poartă mai departe.

Mișcarea poate fi înțeleasă geometric ca proiecția unei mișcări circulare uniforme pe un diametru. Astfel apare natural forma x=A cos(ωt+φ). Două oscilatoare cu aceeași frecvență, dar cu faze diferite, pot fi reprezentate prin doi vectori rotitori separați de un unghi constant; aceeași idee devine utilă ulterior pentru unde și oscilatoare cuplate.

Calcul și arc vertical

Calcul rezolvat

Pentru m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹ și A=0,040 m rezultă ω=20 rad·s⁻¹, T≈0,314 s, v_max=0,80 m·s⁻¹, a_max=16 m·s⁻² și E=0,160 J. Același model leagă timpul, cinematica și energia.

Arc vertical

Gravitația întinde arcul vertical până când kx_eq=mg. Dacă măsurăm ξ față de noul echilibru, ecuația rămâne mξ¨+kξ=0. Pentru aceleași m și k, un arc vertical și unul orizontal ideal au aceeași ω; gravitația deplasează centrul oscilației, nu frecvența oscilațiilor mici.

În oscilatorul ideal cu arc, energia se transferă continuu între energia cinetică K=½mv² și energia potențială elastică U=½kx². La punctele de întoarcere întreaga energie mecanică este potențială, iar la trecerea prin echilibru energia cinetică este maximă. Fără disipare, suma E=½kA² rămâne constantă.

Pendul și limitele aproximației

Pendulul simplu are un cuplu de revenire proporțional cu sinθ, nu cu θ. Pentru unghiuri mici în radiani, sinθ≈θ, de unde aproximația armonică T≈2π√(L/g). La amplitudini mai mari, perioada crește ușor.

Când termenii de ordin superior ai forței sau potențialului nu mai pot fi neglijați, frecvența poate depinde de amplitudine, iar mișcarea nu mai este perfect sinusoidală. Pendulele la unghi mare, arcurile foarte întinse și vibrațiile moleculare reale pot fi anarmonice. Puterea modelului armonic constă tocmai în faptul că este aproximația dominantă lângă echilibru.

Pentru un arc vertical, greutatea deplasează poziția echilibrului static, dar nu schimbă pulsația proprie a oscilațiilor mici în jurul noului echilibru: ω=√(k/m). O forță constantă poate deci muta centrul oscilației fără să modifice curbura potențialului efectiv și, prin urmare, frecvența la amplitudini mici.

Amortizare și rezonanță

Sistemele reale pierd energie prin frecare, rezistență mecanică sau electrică. Un model uzual este m x¨+b x˙+kx=0. La amortizare slabă oscilațiile continuă cu amplitudine descrescătoare; amortizarea critică readuce sistemul la echilibru cât mai repede fără oscilații; supraamortizarea produce o revenire mai lentă.

Cu o forță externă periodică: m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). După regimul tranzitoriu, răspunsul urmează frecvența de excitare. Când aceasta este aproape de frecvența proprie apare rezonanța. Energia vine din sursa externă, care o furnizează coerent de la un ciclu la altul.

Un oscilator slab amortizat are factor de calitate Q mare și păstrează energia multe cicluri. Proprietatea este importantă în ceasuri, instrumente muzicale, senzori, circuite de radiofrecvență și cavități optice.

Pendulul simplu are în ecuația exactă termenul sinθ, nu θ. Pentru unghiuri mici exprimate în radiani, sinθ≈θ și T≈2π√(L/g), însă la amplitudini mai mari perioada crește ușor. Pendulele la unghi mare, arcurile puternic întinse și vibrațiile moleculare reale pot fi anarmonice, iar frecvența poate ajunge să depindă de amplitudine.

Moduri normale și model cuantic

În planul de fază x–v, conservarea ½mv²+½kx²=E produce o elipsă pentru un oscilator neamortizat; amortizarea o transformă într-o spirală spre interior. Mișcările mici ale mai multor grade de libertate cuplate pot fi descompuse în moduri normale, fiecare cu o frecvență proprie și o formă spațială fixă.

Corzile vibrante, pendulele cuplate și rețelele cristaline folosesc această idee; vibrațiile cuantificate ale rețelei duc la fononi. În mecanica cuantică V=½mω²x² rămâne, dar energia este discretă: E_n=(n+½)ħω. Nivelurile sunt separate prin ħω, iar starea fundamentală are energia de punct zero ½ħω.

Amortizarea critică separă revenirea oscilantă de cea neoscilantă: sistemul ajunge la echilibru cât mai repede fără treceri repetate prin acesta. Sub o forță periodică, răspunsul staționar are frecvența excitării. Rezonanța nu creează energie; sursa externă o transferă coerent de la un ciclu la altul. Un factor de calitate Q mare înseamnă un vârf de rezonanță mai îngust și o amortizare liberă mai lentă.

Test experimental și exercițiu

Aproximația armonică poate fi testată: graficul a în funcție de x trebuie să fie aproape liniar cu panta −ω², perioada să varieze puțin la amplitudini mici, x(t) să fie aproape sinusoidal, iar K+U să rămână aproape constantă când amortizarea este mică.

Schimbarea amplitudinii

Pentru m=0,80 kg și k=50 N·m⁻¹, dublarea amplitudinii schimbă perioada ideală? Ce se întâmplă cu v_max și energia?

În planul de fază x–v, oscilatorul neamortizat descrie o elipsă închisă deoarece ½mv²+½kx²=E. Amortizarea transformă elipsa într-o spirală spre interior. Mișcările mici ale mai multor grade de libertate cuplate se pot descompune în moduri normale cu frecvențe proprii. În modelul cuantic E_n=(n+½)ħω: nivelurile sunt echidistante, iar starea fundamentală păstrează energia de punct zero ½ħω.