Harmonický oscilátor
Harmonický oscilátor nie je iba závažie na pružine. Je to základná aproximácia mnohých systémov, ktoré sa nepatrne vychýlia zo stabilnej rovnováhy, preto sa rovnaká matematika objavuje v mechanike, molekulách, kryštáloch, obvodoch aj vlnách.
Aproximácia v okolí rovnováhy
Ak má potenciálna energia V(x) stabilné minimum v x=x₀, potom V′(x₀)=0. Pre malé vychýlenie ξ=x−x₀ dá Taylorov rozvoj V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ². Odtiaľ F≈−V″(x₀)ξ: vratná sila je úmerná výchylke a smeruje k rovnováhe. Ak položíme keff=V″(x₀), dostaneme lokálne harmonický oscilátor. Preto sa tento model objavuje pri molekulových vibráciách, kryštálových mriežkach, akustických rezonátoroch, pružení a normálnych módoch zložitejších sústav. Pre ideálnu pružinu F=−kx, teda m x¨+kx=0 a ω=√(k/m).
Pohyb, perióda a fáza
Riešením rovnice x¨+ω²x=0 je x(t)=A cos(ωt+φ). A je amplitúda a φ fázová konštanta určená počiatočnými podmienkami. Platí f=ω/(2π) a T=2π/ω=2π√(m/k). V ideálnom lineárnom modeli perióda nezávisí od amplitúdy. v=−Aω sin(ωt+φ) a a=−ω²x. V bodoch obratu x=±A je v=0 a |a| maximálne; v rovnováhe x=0 sú vratná sila a zrýchlenie na okamih nulové, no rýchlosť je najväčšia. Maximá sú vmax=Aω a amax=Aω². Fáza určuje, kde v cykle sa systém nachádza.
Priemet rovnomerného kruhového pohybu na priemer má tvar x=A cos(ωt+φ). Fázu si tak možno predstaviť ako uhol rotácie a sínus s kosínusom sú len dve voľby začiatku času. Vo vlnách a spriahnutých oscilátoroch rozhodujú fázové rozdiely o interferencii, prenose energie a kolektívnych vzoroch.
Prieskum fázy
Počiatočné podmienky možno zapísať pomocou A a φ alebo priamo dvojicou x(0) a v(0). Oba opisy sú rovnocenné: amplitúda určuje veľkosť trajektórie vo fázovom priestore a fáza miesto, z ktorého pohyb začína. V experimente sa často meria poloha a rýchlosť a A s φ sa určia až z údajov.
Linearita rovnice má ďalší dôležitý dôsledok. Ak sú x₁(t) a x₂(t) riešenia s rovnakou ω, ich súčet je tiež riešením. Princíp superpozície je základom opisu vĺn a normálnych módov. Keď sa nelineárne členy stanú významné, superpozícia už nie je presná a môžu sa objaviť ďalšie frekvenčné zložky.
Energia
Pre pružinový oscilátor je U=½kx² a K=½mv². Bez tlmenia zostáva E=K+U=½kA² konštantná. V bodoch obratu je celá mechanická energia potenciálna; pri prechode rovnováhou je kinetická energia najväčšia. K a U sa počas každého cyklu premieňajú jedna na druhú, ale ich súčet zostáva v ideálnom modeli rovnaký.
Výpočet a zvislá pružina
Výpočtový príklad
Pre m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹ a A=0,040 m vychádza ω=20 rad·s⁻¹, T≈0,314 s, vmax=0,80 m·s⁻¹, amax=16 m·s⁻² a E=0,160 J. Jeden model tak súčasne predpovedá časovú škálu, kinematiku aj energiu.
Zvislá pružina
Gravitácia natiahne zvislú pružinu do novej rovnováhy kxeq=mg. Ak výchylku ξ meriame od tejto novej polohy, rovnica zostáva mξ¨+kξ=0. Ideálna zvislá a vodorovná pružina s rovnakými m a k preto majú rovnakú ω=√(k/m); gravitácia posunie stred kmitania, ale nemení frekvenciu malých kmitov.
Kyvadlo a hranice aproximácie
Pri jednoduchom kyvadle je vratný moment úmerný sinθ, nie θ, takže presná rovnica je nelineárna. Až pri malých uhloch v radiánoch platí sinθ≈θ a dostaneme harmonickú aproximáciu T≈2π√(L/g). Pri väčších amplitúdach sa perióda mierne predlžuje. Kyvadlá s veľkým uhlom, silno natiahnuté pružiny a mnohé reálne molekulové vibrácie sú anharmonické: frekvencia môže závisieť od amplitúdy a priebeh nemusí byť sínusový. Sila harmonického modelu spočíva v tom, že je vedúcou aproximáciou pri stabilnej rovnováhe.
Tlmenie a rezonancia
Reálne systémy strácajú energiu trením, odporom alebo elektrickým odporom. Bežný model je m x¨+b x˙+kx=0. Pri slabom tlmení systém stále kmitá, ale amplitúda klesá; kritické tlmenie vráti systém do rovnováhy najrýchlejšie bez kmitania; pretlmený systém sa vracia pomalšie. Pri periodickej budiacej sile platí m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ωdt). Po odznení prechodovej zložky systém reaguje na budiacu frekvenciu. V blízkosti vlastnej frekvencie vzniká veľká odozva — rezonancia. Tlmenie obmedzuje vrchol a rozširuje rezonančnú krivku. Energia nevzniká sama; budenie ju dodáva v priaznivej fáze cyklus za cyklom. Veľký činiteľ kvality Q znamená malé tlmenie, úzku rezonanciu a pomalý zánik voľných kmitov.
Pri rezonancii treba rozlišovať prechodový a ustálený stav. Hneď po zapnutí budenia obsahuje pohyb vlastné voľné kmity aj vynútenú odpoveď. Tlmenie postupne odstráni voľnú zložku a až potom zostane ustálený pohyb na budiacej frekvencii. Bežná rezonančná krivka opisuje práve tento neskorý ustálený stav.
Činiteľ kvality Q možno chápať ako mieru toho, ako dlho si systém uchováva energiu. Veľké Q dáva ostrú frekvenčnú selektivitu, čo je výhodné v presných rezonátoroch a filtroch. V mechanických konštrukciách však môže veľmi vysoké Q znamenať nebezpečne veľkú odozvu v úzkom okolí rezonancie.
Normálne módy a kvantový model
V grafe v proti x tvorí zachovanie ½mv²+½kx²=E pri netlmenom oscilátore elipsu vo fázovom priestore; tlmenie ju mení na špirálu dovnútra. Ak je spriahnutých viac stupňov voľnosti, malé pohyby možno často rozložiť na normálne módy, každý s vlastnou frekvenciou a pevným priestorovým vzorom. Tento princíp platí pre strunu, spriahnuté kyvadlá aj kryštálovú mriežku; kvantované kmity mriežky vedú k fonónom. V kvantovej mechanike zostáva V=½mω²x², ale energia je diskrétna: En=(n+½)ħω. Hladiny sú od seba vzdialené o ħω a základný stav má nenulovú energiu ½ħω.
Kvantový oscilátor používa rovnaký parabolický potenciál ako klasický model, no energia nie je ľubovoľná. V limite veľkých kvantových čísel je krok ħω malý v porovnaní s celkovou energiou a klasický opis sa znovu objavuje ako dobrá aproximácia priemerného správania.
Ďalší pohľad poskytuje fázový priestor: namiesto polohy v čase sa zakresľuje rýchlosť proti polohe. Pri netlmenom harmonickom oscilátore dáva zachovanie ½mv² + ½kx² = E uzavretú elipsu. Tlmenie mení elipsu na špirálu smerujúcu dovnútra, pretože systém stráca mechanickú energiu. Pri trvalo budenom pohybe sa po zániku prechodovej zložky môže ustáliť opakujúca sa uzavretá trajektória.
Ak sa navzájom viaže viac stupňov voľnosti, malé kmity možno často rozložiť na normálne módy. Každý mód má vlastnú charakteristickú frekvenciu a pevný pomer amplitúd jednotlivých častí. Takto sa analyzujú spojené kyvadlá, vibrujúce struny aj kryštálové mriežky; kvantované vibrácie mriežky sa opisujú pomocou fonónov.
Kvantový model zároveň vysvetľuje význam energie nulového bodu ½ħω. Ani v základnom stave nemožno mať súčasne presne nulovú výchylku a nulovú hybnosť. Pri vyšších kvantových číslach sa rozdiel medzi susednými hladinami stáva v porovnaní s celkovou energiou menej nápadný a správanie sa približuje klasickému oscilátoru.
Experimentálny test a úloha
Reálny systém možno otestovať proti modelu: graf a proti x má byť približne priamka so záporným sklonom a=−ω²x; perióda má byť v oblasti malých amplitúd takmer nezávislá od amplitúdy; x(t) má byť blízke sínusoide; a pri pružine so zanedbateľným tlmením má zostať K+U takmer konštantné. Ide teda o merateľné fyzikálne kritériá.
Zmena amplitúdy
Pre m=0,80 kg a k=50 N·m⁻¹: zmení zdvojnásobenie amplitúdy ideálnu periódu? Čo sa stane s vmax a energiou?
Riešenie
T=2π√(m/k)≈0,795 s sa nezmení. vmax=Aω sa zdvojnásobí a E=½kA² sa zväčší štyrikrát.