हार्मोनिक दोलक

सरल हार्मोनिक गति तब मिलती है जब बल बहाल करना विस्थापन के समानुपाती और विपरीत दिशा में हो: F = −केएक्स। इस रैखिक मॉडल में गति साइनसॉइडल होती है और अवधि आयाम से स्वतंत्र रहता है।

हूक कानून से SHM

स्प्रिंग-मास प्रणाली में F=−केएक्स और न्यूटन के नियम से m x¨ = −केएक्स, अर्थात x¨ + (k/m)x=0। इसका समाधान x=A क्योंकि(ωt+φ) है, जहाँ ω=√(k/m)।

ऋण चिह्न महत्वपूर्ण है: बल विस्थापन का विरोध करती है। यदि बल बाहर की ओर होती तो संतुलन अस्थिर होता और साइनसोइडल एसएचएम नहीं मिलता।

अवधि, आवृत्ति और चरण

मास-स्प्रिंग ऑसिलेटर के लिए T=2π√(m/k), f=1/T और ω=2πf। आदर्श रैखिक स्प्रिंग में आयाम एक अवधि को नहीं बदलती। मास बढ़ाने से अवधि बढ़ता है; वसंत कठोरता k बढ़ाने से अवधि घटता है।

चरण φ प्रारंभिक शर्तें से तय होती है। केवल आयाम और आवृत्ति जानने से यह नहीं पता कि t=0 पर थरथरानवाला कहाँ है और किस दिशा में चल रहा है।

वेग और त्वरण

x=A क्योंकि(ωt+φ) से v=−Aω पाप(ωt+φ) और a=−ω²x। केंद्र x=0 पर गति का अधिकतम परिमाण और त्वरण शून्य; निर्णायक मोड़ x=±A पर गति शून्य और त्वरण परिमाण अधिकतम।

इस चरण संबंध को ग्राफ़िक रूप से देखना SHM की सबसे उपयोगी समझों में से है। पद, वेग और त्वरण शिखर एक ही समय पर नहीं आते।

ऊर्जा

वसंत की संभावना U=½केएक्स² और गतिज K=½mv²। आदर्श अवमंदित प्रणाली में E=K+U=½kA² स्थिर। निर्णायक मोड़ पर पूरी ऊर्जा क्षमता और केंद्र पर पूरी गतिज होती है।

आयाम दोगुनी करने पर कुल ऊर्जा चार गुना होती है क्योंकि E∝A²। यह रैखिक थरथरानवाला में आयाम और ऊर्जा के संबंध को स्पष्ट करता है।

भीगना और वास्तविक ऑसिलेटर्स

वास्तविक प्रणालियाँ में घर्षण/खींचें आयाम घटाते हैं। कमजोर भिगोना में दोलन बनी रहती है पर लिफाफा समय के साथ क्षय करता है; मजबूत भिगोना में प्रणाली बिना दोलन किए संतुलन लौट सकती है।

पेंडुलम केवल छोटे कोण की सीमा में SHM के करीब है, जहाँ पापθ≈θ। बड़े कोण पर अवधि आयाम पर निर्भर होने लगता है, इसलिए सरल T≈2π√(L/g) सटीक सार्वभौमिक सूत्र नहीं है।

चरण-अंतरिक्ष और एक उपयोगी जांच

आदर्श एसएचएम में x/A और v/(Aω) के बीच संबंध (x/A)² + (v/Aω)² = 1 मिलता है। चरण-अंतरिक्ष में प्रक्षेप पथ दीर्घवृत्त होती है; भीगना होने पर प्रक्षेपवक्र धीरे-धीरे भीतर सर्पिल करती है क्योंकि यांत्रिक ऊर्जा घटती है।

यह संबंध किसी मध्यवर्ती स्थिति पर गति जाँचने के लिए उपयोगी है: v = ±ω√(A²−x²)। संकेत गति की दिशा बताता है, परिमाण ऊर्जा संरक्षण से भी मिलता है।

अभ्यास

अवधि

m=0.50 kg, k=200 N m⁻¹।

हल: T=2π√(0.50/200)≈0.314 s।

ऊर्जा

k=100 N m⁻¹, A=0.20 m।

हल: E=½kA²=2.0 J।

केंद्र पार

आदर्श एसएचएम में x=0।

हल: गति अधिकतम और वसंत त्वरण शून्य।