Dao động tử điều hòa

Xấp xỉ gần vị trí cân bằng

Nếu thế năng V(x) có cực tiểu bền tại x=x₀ thì V′(x₀)=0. Với li độ nhỏ ξ=x−x₀, V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ², do đó F≈−V″(x₀)ξ. Lực phục hồi tỉ lệ với li độ và hướng về cân bằng. Đặt k_eff=V″(x₀), chuyển động cục bộ trở thành dao động điều hòa. Vì vậy cùng toán học xuất hiện trong dao động phân tử, mạng tinh thể, mạch điện, bộ cộng hưởng âm, hệ treo và mode chuẩn. Với lò xo lý tưởng, F=−kx nên m x¨+kx=0, ω=√(k/m).

Chuyển động, chu kỳ và pha

Nghiệm tổng quát là x(t)=A cos(ωt+φ). A là biên độ, φ là hằng số pha do điều kiện đầu quyết định. f=ω/(2π), T=2π/ω=2π√(m/k). Trong mô hình tuyến tính lý tưởng, chu kỳ không phụ thuộc biên độ. v=−Aω sin(ωt+φ) và a=−ω²x. Ở điểm quay x=±A, v=0 và |a| lớn nhất; tại cân bằng x=0, gia tốc bằng 0 tức thời nhưng tốc độ lớn nhất. v_max=Aω và a_max=Aω². Pha cho biết hệ đang ở đâu trong chu kỳ.

Chiếu chuyển động tròn đều lên một đường kính ta được x=A cos(ωt+φ), chính là dao động điều hòa. Góc quay trở thành cách trực quan để hiểu pha; sin và cos chỉ khác nhau ở cách chọn gốc thời gian. Trong sóng và các dao động tử ghép, chênh lệch pha quyết định giao thoa, truyền năng lượng và mô hình tập thể.

Năng lượng

Với lò xo, U=½kx² và K=½mv². Nếu không có tắt dần, E=K+U=½kA² không đổi. Ở điểm quay, toàn bộ cơ năng là thế năng; tại cân bằng, động năng đạt cực đại. Năng lượng liên tục chuyển đổi giữa K và U nhưng tổng vẫn bảo toàn trong mô hình lý tưởng.

Tính toán và lò xo thẳng đứng

Con lắc và giới hạn của xấp xỉ

Con lắc đơn có mômen phục hồi tỉ lệ với sinθ chứ không phải θ, nên phương trình chính xác là phi tuyến. Khi góc nhỏ và đo bằng radian, sinθ≈θ cho T≈2π√(L/g). Ở biên độ lớn hơn, chu kỳ tăng nhẹ. Con lắc góc lớn, lò xo bị kéo mạnh và nhiều dao động phân tử thực là phi điều hòa: tần số có thể phụ thuộc biên độ và dạng sóng không còn sin. Mô hình điều hòa mạnh vì nó là xấp xỉ đầu tiên gần cân bằng bền, không phải vì mọi dao động đều hoàn hảo.

Tắt dần và cộng hưởng

Một mô hình có ma sát hoặc lực cản là m x¨+b x˙+kx=0. Tắt dần yếu vẫn dao động nhưng biên độ giảm; tắt dần tới hạn trở về cân bằng nhanh nhất mà không dao động; quá tắt dần trở về chậm hơn. Khi có lực cưỡng bức tuần hoàn, m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). Sau quá độ, hệ đáp ứng ở tần số cưỡng bức và biên độ lớn khi gần tần số riêng: cộng hưởng. Tắt dần giới hạn đỉnh và làm nó rộng hơn. Cộng hưởng không tạo năng lượng từ hư không; ngoại lực truyền năng lượng đúng pha qua nhiều chu kỳ. Q lớn tương ứng tắt dần yếu, đỉnh hẹp và dao động tự do suy giảm chậm.

Mode chuẩn và mô hình lượng tử

Trong không gian pha x–v, bảo toàn ½mv²+½kx²=E cho một elip khi không tắt dần; tắt dần biến elip thành xoắn ốc vào trong. Hệ nhiều bậc tự do ghép có thể phân tích thành mode chuẩn, mỗi mode có một tần số đặc trưng và hình dạng dao động cố định. Dây, con lắc ghép và mạng tinh thể đều dùng ý tưởng này; dao động mạng lượng tử hóa trong chất rắn tạo phonon. Trong cơ học lượng tử, V=½mω²x² vẫn giữ nguyên nhưng năng lượng rời rạc: E_n=(n+½)ħω. Các mức cách nhau ħω và trạng thái cơ bản vẫn có năng lượng điểm không ½ħω.

Kiểm nghiệm thực nghiệm và bài tập

Để kiểm tra một hệ có gần điều hòa hay không, có thể đo xem đồ thị a theo x có là đường thẳng dốc âm a=−ω²x hay không, chu kỳ có gần như độc lập với biên độ trong miền nhỏ hay không, x(t) có gần sin và K+U có gần bảo toàn khi tắt dần nhỏ. Đây là các kiểm tra định lượng chứ không chỉ dựa vào hình dạng dao động.

Thay đổi biên độ

Với m=0,80 kg và k=50 N·m⁻¹, tăng biên độ gấp đôi có làm đổi chu kỳ lý tưởng không? v_max và năng lượng thay đổi thế nào?