Oscil·lador harmònic
L’oscil·lador harmònic és molt més que un model de molla. És la descripció dominant d’un sistema desplaçat lleugerament d’un equilibri estable, i per això la mateixa matemàtica apareix en molècules, cristalls, circuits, ressonadors i estructures mecàniques.
Aproximació prop de l’equilibri
Una massa unida a una molla és la imatge de manual, però la raó profunda de la universalitat del model és local. Si una energia potencial suau V(x) té un mínim a x₀, aleshores V′(x₀)=0. Per a un desplaçament petit ξ=x−x₀, el desenvolupament comença com V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ². En derivar, F≈−V″(x₀)ξ: la primera força no nul·la és proporcional al desplaçament i apunta cap a l’equilibri.
Definint kₑff=V″(x₀), el moviment local és harmònic. Per a una molla ideal F=−kx i la segona llei de Newton dona m x¨+kx=0, o x¨+ω²x=0 amb ω=√(k/m). El signe menys és la física: quan x és positiu l’acceleració és negativa, i a l’inrevés.
Aquesta aproximació explica per què vibracions moleculars petites, modes d’una xarxa cristal·lina, circuits LC, cavitats acústiques i suspensions mecàniques comparteixen la mateixa estructura matemàtica encara que els mecanismes microscòpics siguin diferents.
Moviment, període i fase
La solució general és x(t)=A cos(ωt+φ). A és l’amplitud, ω la freqüència angular i φ la fase determinada per les condicions inicials. El període és T=2π/ω=2π√(m/k), i f=1/T. En el model ideal lineal, el període no depèn de l’amplitud.
Derivant s’obté v(t)=−Aω sin(ωt+φ) i a(t)=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. Als punts de retorn x=±A, v=0 i |a| és màxima; a l’equilibri x=0, l’acceleració s’anul·la instantàniament però la velocitat és màxima. Per això l’objecte no s’atura quan passa per l’equilibri.
Els màxims són vₘax=Aω i aₘax=Aω². L’amplitud diu fins on arriba el moviment; la fase diu en quin punt del cicle es troba. Dos oscil·ladors amb el mateix A i ω poden tenir estats instantanis diferents si φ és diferent.
Una manera geomètrica de veure-ho és projectar un moviment circular uniforme sobre un diàmetre: la projecció compleix exactament x=A cos(ωt+φ). Aquesta imatge fa intuïtiva la fase i prepara la descripció d’ones i sistemes acoblats.
Energia
Per a una molla, U=½kx² i K=½mv². Sense amortiment, E=K+U=½kA² és constant. Als extrems tota l’energia mecànica és potencial; en travessar l’equilibri la part cinètica és màxima.
L’energia es transfereix contínuament entre formes sense desaparèixer. La constància d’E també permet obtenir v en funció de x sense resoldre explícitament el moviment en el temps: ½mv²+½kx²=½kA².
Càlcul i molla vertical
Càlcul resolt
Una massa de 0,50 kg està unida a una molla de k=200 N m⁻¹ i oscil·la amb A=0,040 m. ω=√(200/0,50)=20 rad s⁻¹; T=2π/20≈0,314 s; vₘax=Aω=0,80 m s⁻¹; aₘax=Aω²=16 m s⁻²; E=½kA²=0,160 J. Un únic model connecta temps, cinemàtica i energia.
Molla vertical
La gravetat estira una molla vertical fins que kxₑq=mg. Això desplaça la posició d’equilibri. Si el desplaçament ξ es mesura a partir d’aquest nou centre, l’equació torna a ser mξ¨+kξ=0. Per tant una molla vertical i una d’horitzontal amb els mateixos m i k tenen la mateixa ω ideal: la gravetat canvia el centre, no la freqüència de petita oscil·lació.
Pèndol i límits de l’aproximació
Un pèndol simple té una força restauradora proporcional a sinθ, no exactament a θ. L’equació exacta és no lineal. Per a angles petits expressats en radians, sinθ≈θ i apareix l’aproximació harmònica T≈2π√(L/g).
A amplituds més grans el període augmenta lleugerament. La independència respecte de l’amplitud és, doncs, una propietat de l’aproximació lineal. Pèndols de gran angle, molles fortament deformades i moltes vibracions moleculars reals són anharmònics: poden mostrar freqüències dependents de l’amplitud i formes d’ona no sinusoidals.
El valor del model és precisament saber on funciona: és el primer terme útil prop d’un mínim estable, no una afirmació que tota oscil·lació de qualsevol amplitud sigui perfecta.
Amortiment i ressonància
Els sistemes reals perden energia per fricció, arrossegament o resistència elèctrica. Un model habitual és m x¨+b x˙+kx=0. Amb poc amortiment encara hi ha oscil·lacions però l’amplitud decau; a l’amortiment crític el sistema torna a l’equilibri tan ràpid com és possible sense oscil·lar; un sistema sobreamortit hi torna més lentament.
Amb una força periòdica, m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ωdt). Després dels transitoris, la resposta segueix la freqüència excitadora. Prop de la freqüència natural, l’energia pot entrar coherentment cicle rere cicle i l’amplitud estacionària pot fer-se gran: és la ressonància.
L’amortiment limita el pic i l’eixampla. Un factor de qualitat Q alt correspon a poca dissipació, una ressonància estreta i una oscil·lació lliure que decau lentament. Aquesta selecció de freqüència és essencial en instruments, rellotges, sensors, circuits i cavitats òptiques.
Modes normals i model quàntic
En el pla fase x–v, un oscil·lador sense amortiment descriu una el·lipse perquè ½mv²+½kx²=E. L’amortiment converteix aquesta corba tancada en una espiral cap a l’origen; un sistema excitat pot arribar a una òrbita periòdica estacionària.
Quan diversos oscil·ladors s’acoblen, el moviment es pot descompondre en modes normals: patrons col·lectius amb freqüències pròpies. Aquesta idea porta directament a les ones en cordes, sòlids i xarxes, on els modes esdevenen la base natural de la descripció.
En mecànica quàntica, el potencial harmònic V=½mω²x² té nivells Eₙ=(n+½)ħω. Fins i tot l’estat més baix conserva l’energia de punt zero ½ħω. El model és fonamental per aproximar vibracions moleculars, fonons en sòlids i camps quantitzats.
La forma quadràtica del potencial és la raó matemàtica per la qual l’oscil·lador apareix tan sovint. Prop d’un mínim estable, el terme lineal de V desapareix i el terme quadràtic és habitualment el primer que sobreviu. Els termes cúbics i d’ordre superior són els que introdueixen l’anharmonicitat quan el desplaçament deixa de ser petit.
La fase no és un detall de notació. Juntament amb l’amplitud determina les condicions inicials. Per exemple, una massa pot tenir x=0 en t=0 i moure’s cap a la dreta, o passar pel mateix x=0 cap a l’esquerra; l’amplitud i la freqüència són iguals, però la fase distingeix els dos estats.
La relació a=−ω²x ofereix una prova directa del model: si es mesuren simultàniament posició i acceleració, les dades haurien d’alinear-se en una recta que passi per l’origen. La pendent dona −ω². Una desviació sistemàtica d’aquesta recta és una manera experimental de detectar no-linealitat.
En ressonància, el sistema no viola la conservació de l’energia. La força externa fa treball. Quan el seu ritme està ben sincronitzat amb el moviment, la transferència mitjana d’energia per cicle és eficient; la dissipació decideix fins on creix l’amplitud estacionària.
Els modes normals són importants perquè desacoblen, matemàticament, un problema amb molts graus de llibertat. En cada mode totes les parts oscil·len amb la mateixa freqüència i una relació de fase fixa. Una vibració complicada es pot entendre com una superposició d’aquests patrons simples.
El model quàntic conserva la mateixa curvatura del potencial però canvia radicalment els estats possibles: l’energia no és contínua. La separació entre nivells és ħω, i l’energia de punt zero recorda que l’estat fonamental no correspon a una partícula clàssica immòbil exactament al mínim.
Experiment i exercici
Un experiment pot provar el model de diverses maneres: representar a contra x ha de donar una recta de pendent negatiu; el període ha de ser gairebé independent de l’amplitud mentre la resposta sigui lineal; x(t) ha de ser aproximadament sinusoidal; i K+U s’ha de mantenir constant si les pèrdues són petites.
Canviar l’amplitud
Una massa de 0,80 kg oscil·la amb una molla de 50 N m⁻¹. Si l’amplitud es duplica, què passa amb el període, vₘax i l’energia?
Solució
T=2π√(0,80/50)≈0,795 s i no canvia en el model ideal. Com que vₘax=Aω, la velocitat màxima es duplica. Com que E=½kA², l’energia es multiplica per quatre.