ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

การเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายเกิดเมื่อแรงคืนสู่สมดุลแปรตามการกระจัดและมีทิศตรงข้าม F=−kx ในแบบจำลองเชิงเส้น การเคลื่อนที่เป็นไซน์และคาบไม่ขึ้นกับแอมพลิจูด

จาก Hooke law สู่ SHM

สำหรับมวลกับสปริง F=−kx และ m x¨=−kx จึงได้ x¨+(k/m)x=0 คำตอบคือ x=A cos(ωt+φ) โดย ω=√(k/m)

เครื่องหมายลบของแรงสำคัญ เพราะแรงต้องชี้กลับสู่สมดุล ถ้าแรงชี้ออกจากสมดุล ระบบจะไม่เป็น simple harmonic oscillator ที่เสถียร

คาบ ความถี่ และ phase

T=2π√(m/k), f=1/T และ ω=2πf ในสปริงเชิงเส้นอุดมคติ A ไม่เปลี่ยน T การเพิ่ม m ทำให้คาบยาวขึ้น ส่วนเพิ่ม k ทำให้คาบสั้นลง

phase φ มาจาก initial conditions จึงต้องรู้ตำแหน่งและทิศความเร็วเริ่มต้น ไม่สามารถกำหนดจาก amplitude กับ frequency เพียงอย่างเดียว

ความเร็วและความเร่ง

ถ้า x=A cos(ωt+φ), จะได้ v=−Aω sin(ωt+φ) และ a=−ω²x ที่ x=0 ความเร็วมีขนาดสูงสุดและความเร่งเป็นศูนย์ ส่วนที่ x=±A ความเร็วเป็นศูนย์และความเร่งมีขนาดสูงสุด

กราฟ x,v,a จึงเหลื่อม phase กัน การอ่านความสัมพันธ์นี้ช่วยป้องกันความเข้าใจผิดว่าจุดที่ displacement มากต้องเคลื่อนเร็วที่สุด

พลังงาน

พลังงานศักย์สปริง U=½kx² และพลังงานจลน์ K=½mv² ในระบบไม่มี damping E=K+U=½kA² คงที่ ที่ turning point พลังงานเป็นศักย์ทั้งหมด และที่สมดุลเป็นจลน์สูงสุด

ถ้า A เพิ่มสองเท่า E เพิ่มสี่เท่าเพราะ E∝A²

damping และข้อจำกัด

ระบบจริงมีแรงเสียดทานหรือ drag ทำให้ amplitude ลด Weak damping ยังสั่นต่อได้แต่ envelope ลด ส่วน damping มากอาจทำให้กลับสมดุลโดยไม่ข้ามไปมา

ลูกตุ้มอย่างง่ายใกล้ SHM เฉพาะมุมเล็กที่ sinθ≈θ ถ้ามุมใหญ่ขึ้น period เริ่มขึ้นกับ amplitude และสูตร T≈2π√(L/g) ไม่ใช่ exact

phase-space และการตรวจด้วยพลังงาน

สำหรับ SHM อุดมคติ ความสัมพันธ์ (x/A)²+(v/Aω)²=1 ทำให้ trajectory ใน phase-space เป็น ellipse ถ้ามี damping พลังงานลดและ trajectory ค่อย ๆ spiral เข้าหาจุดสมดุล

จากพลังงานได้ v=±ω√(A²−x²) จึงตรวจค่าความเร็วที่ตำแหน่งใดได้โดยไม่ต้องรู้เวลา เครื่องหมายบวกหรือลบขึ้นกับทิศการเคลื่อนที่

ถ้าคำนวณได้ |x|>A หรือพลังงานจลน์ติดลบ แสดงว่าค่าเริ่มต้นหรือสมการไม่สอดคล้องกับ oscillator ที่กำหนด

การซ้อนทับของ SHM

ในระบบเชิงเส้น การสั่นฮาร์มอนิกที่มีความถี่เดียวกันสามารถรวมกันเป็น SHM ใหม่ที่ความถี่เดิมแต่มี amplitude และ phase ใหม่ได้ หลัก superposition นี้เป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ normal modes และการตอบสนองต่อแรงขับ.

สำหรับสปริงแนวดิ่ง gravity เลื่อนตำแหน่งสมดุลแต่ไม่เปลี่ยนความถี่ √(k/m) ในโมเดลเชิงเส้น ถ้าวัด x จากสมดุลใหม่ สมการ SHM มีรูปเดียวกับสปริงแนวนอน.

แบบฝึกหัด

คาบสปริง

m=0.50 kg, k=200 N m⁻¹

เฉลย: T≈0.314 s

พลังงาน

k=100 N m⁻¹, A=0.20 m

เฉลย: E=2.0 J

ผ่านสมดุล

x=0 ใน SHM อุดมคติ

เฉลย: ความเร็วสูงสุดและความเร่งสปริงเป็นศูนย์