Harmoniskais oscilators

Tuvinājums līdzsvara tuvumā

Ja gludai potenciālajai enerģijai V(x) ir minimums pie x=x₀, tad V′(x₀)=0. Mazam ξ=x−x₀ novirzienam V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ², un tāpēc F≈−V″(x₀)ξ.

Apzīmējot k_eff=V″(x₀), iegūst spēku, kas ir proporcionāls novirzei un vērsts uz līdzsvaru. Tāpēc modelis apraksta molekulu un kristālu svārstības, mehāniskās piekares, akustiskos un elektriskos rezonatorus.

Vienā dimensijā F=−kx. No Ņūtona otrā likuma m d²x/dt²=−kx, jeb d²x/dt²+ω²x=0, kur ω=√(k/m). Mīnusa zīme nozīmē, ka paātrinājums vienmēr vērsts atpakaļ uz līdzsvaru.

Mīnusa zīme izteiksmē F=−kx nav tikai pieraksta detaļa: tā nozīmē, ka paātrinājums vienmēr ir vērsts pretēji novirzei. Jo tālāk sistēma atrodas no līdzsvara, jo lielāks ir atjaunojošā paātrinājuma modulis. Lineārais likums ir vispārīgāka potenciāla lokāls tuvinājums un ir derīgs tik ilgi, kamēr augstākas kārtas locekļi paliek mazi.

Kustība, periods un fāze

Vispārīgais risinājums ir x(t)=A cos(ωt+φ). A ir amplitūda, ω – leņķiskā frekvence, φ – sākuma nosacījumu noteikta fāze. f=ω/(2π), bet T=2π/ω=2π√(m/k).

Ideālam lineāram oscilatoram T nav atkarīgs no amplitūdas. Diferencējot: v=−Aω sin(ωt+φ) un a=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. Galapunktos v=0 un |a| ir maksimāls; līdzsvarā x=a=0, bet ātrums ir vislielākais.

Maksimālās vērtības ir v_max=Aω un a_max=Aω². Amplitūda nosaka svārstību apjomu, fāze – vietu ciklā. Vienmērīgi pa apli kustīga punkta projekcija uz diametru kustas tieši pēc kosinusa likuma un palīdz saprast fāzi.

Galapunktos x=±A ātrums ir nulle, bet |a| ir maksimāls; pie x=0 atjaunojošais spēks un paātrinājums uz mirkli ir nulle, savukārt ātrums ir maksimāls. Tāpēc oscilators līdzsvara stāvoklī neapstājas — inerce to nes tālāk. Maksimālās vērtības ir v_max=Aω un a_max=Aω². Fāze nosaka, kurā cikla vietā sistēma atrodas dotajā brīdī.

Enerģija

Atsperes oscilatoram U=½kx², K=½mv². Bez slāpēšanas E=K+U=½kA² ir konstanta.

Galapunktos visa mehāniskā enerģija ir potenciālā, bet līdzsvarā kinētiskā enerģija ir maksimāla. Ķermenis līdzsvarā neapstājas, jo inerce to nes tālāk.

Kustību var interpretēt ģeometriski kā vienmērīgas riņķveida kustības projekciju uz diametra. Šādi dabiski iegūst x=A cos(ωt+φ). Divi vienādas frekvences, bet atšķirīgas fāzes oscilatori atbilst diviem rotējošiem vektoriem ar nemainīgu leņķa starpību; šis attēlojums vēlāk palīdz izprast viļņu interferenci un saistītus oscilatorus.

Aprēķins un vertikāla atspere

Atrisināts aprēķins

Ja m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹ un A=0,040 m, tad ω=20 rad·s⁻¹, T≈0,314 s, v_max=0,80 m·s⁻¹, a_max=16 m·s⁻² un E=0,160 J. Viens modelis vienlaikus sasaista laiku, kinemātiku un enerģiju.

Vertikāla atspere

Gravitācija izstiepj vertikālu atsperi līdz kx_eq=mg. Ja ξ mēra no jaunā līdzsvara, paliek mξ¨+kξ=0. Pie vienādiem m un k horizontālai un vertikālai ideālai atsperei ω ir vienāds: gravitācija pārbīda līdzsvara punktu, nevis mazo svārstību frekvenci.

Ideālā atsperes oscilatorā enerģija nepārtraukti pāriet starp kinētisko K=½mv² un elastīgo potenciālo U=½kx². Galapunktos visa mehāniskā enerģija ir potenciālā, bet, šķērsojot līdzsvaru, kinētiskā enerģija ir maksimāla. Ja nav disipācijas, kopējā enerģija E=½kA² paliek nemainīga.

Svārsts un tuvinājuma robežas

Vienkāršam svārstam atjaunojošais moments ir proporcionāls sinθ, nevis θ. Maziem leņķiem radiānos sinθ≈θ, tāpēc iegūst harmonisko tuvinājumu T≈2π√(L/g). Pie lielākas amplitūdas periods nedaudz palielinās.

Kad augstākas kārtas spēka vai potenciāla locekļi vairs nav niecīgi, frekvence var būt atkarīga no amplitūdas un kustība vairs nav precīzi sinusoidāla. Lieli svārsta leņķi, stipri izstieptas atsperes un reālas molekulu vibrācijas ir anharmoniskas. Harmoniskā modeļa spēks ir tā precizitāte stabila līdzsvara tuvumā.

Vertikālai atsperei smaguma spēks pārbīda statiskā līdzsvara stāvokli, taču nemaina mazo svārstību pašleņķisko frekvenci ap jauno līdzsvaru: ω=√(k/m). Pastāvīgs spēks var pārvietot svārstību centru, nemainot efektīvā potenciāla izliekumu un līdz ar to arī mazas amplitūdas frekvenci.

Slāpēšana un rezonanse

Reālas sistēmas zaudē enerģiju berzes, pretestības vai elektrisku zudumu dēļ. Biežs modelis: m x¨+b x˙+kx=0. Vāji slāpējot, svārstības turpinās ar dilstošu amplitūdu; kritiska slāpēšana atgriež līdzsvarā visātrāk bez pārsitiena; pārslāpēta sistēma atgriežas lēnāk.

Periodiska ārēja spēka gadījumā m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ω_dt). Pēc pārejas procesa sistēma svārstās ar ierosmes frekvenci. Ja tā ir tuvu paša frekvencei, rodas rezonanse. Enerģiju piegādā ārējais avots, pievienojot to labvēlīgā fāzē ciklu pēc cikla.

Vāji slāpētam oscilatoram kvalitātes faktors Q ir liels un enerģija saglabājas daudzus ciklus. Tas ir svarīgi pulksteņos, mūzikas instrumentos, sensoros, radiofrekvenču ķēdēs un optiskos rezonatoros.

Vienkārša svārsta precīzais atjaunojošais loceklis satur sinθ, nevis θ. Maziem leņķiem radiānos sinθ≈θ un T≈2π√(L/g), bet lielākai amplitūdai periods nedaudz palielinās. Liela leņķa svārsti, stipri izstieptas atsperes un reālas molekulu vibrācijas var būt anharmoniskas, tāpēc frekvence var kļūt atkarīga no amplitūdas.

Normālās modas un kvantu modelis

Fāžu plaknē x–v vienādojums ½mv²+½kx²=E neslāpētam oscilatoram dod elipsi; slāpēšana to pārvērš spirālē uz iekšu. Vairāku saistītu brīvības pakāpju mazas kustības bieži var sadalīt normālajās modās, katrai ar savu frekvenci un fiksētu telpisku formu.

Vibrējošas stīgas, saistīti svārsti un kristālrežģi izmanto šo ideju; kvantētas režģa vibrācijas apraksta ar fononiem. Kvantu mehānikā V=½mω²x² paliek, bet enerģija ir diskrēta: E_n=(n+½)ħω. Līmeņus šķir ħω, bet pamatstāvoklim ir nulles punkta enerģija ½ħω.

Kritiskā slāpēšana ir robeža starp svārstīgu un nesvārstīgu atgriešanos: sistēma līdzsvaru sasniedz iespējami ātri bez atkārtotas tā šķērsošanas. Periodiska ārēja spēka gadījumā nostabilizējusies atbilde notiek ierosmes frekvencē. Rezonanse enerģiju nerada; ārējais avots to nodod saskaņoti ciklu pēc cikla. Liels kvalitātes faktors Q nozīmē šaurāku rezonanses maksimumu un lēnāku brīvo svārstību rimšanu.

Eksperimentāla pārbaude un uzdevums

Harmonisko tuvinājumu var pārbaudīt: a(x) grafikam jābūt gandrīz taisnei ar slīpumu −ω², periodam pie mazām amplitūdām gandrīz nemainīgam, x(t) tuvu sinusoidai un K+U pie mazas slāpēšanas gandrīz konstantai.

Amplitūdas maiņa

Ja m=0,80 kg un k=50 N·m⁻¹, vai amplitūdas divkāršošana maina ideālo periodu? Kas notiek ar v_max un enerģiju?

x–v fāžu plaknē neslāpēts oscilators apraksta slēgtu elipsi, jo ½mv²+½kx²=E. Slāpēšana šo līkni pārvērš uz iekšu vērstā spirālē. Vairāku saistītu brīvības pakāpju mazas kustības var sadalīt normālajās modās ar raksturīgām frekvencēm. Kvantu modelī E_n=(n+½)ħω: līmeņi ir vienādi atstatīti, bet pamatstāvoklim saglabājas nulles punkta enerģija ½ħω.