Oscilador armónico

Aproximación cerca del equilibrio

Una masa unida a un resorte es la imagen de manual, pero el oscilador armónico es importante por una razón más profunda. Cerca de un equilibrio estable, una enorme variedad de sistemas físicos se comporta aproximadamente como un resorte aunque no exista ningún resorte real.

Si una energía potencial suave V(x) tiene un mínimo en x = x₀, entonces V′(x₀) = 0 y, para un pequeño desplazamiento ξ = x − x₀, el desarrollo de Taylor comienza como V(x) ≈ V(x₀) + ½V″(x₀)ξ². Al derivar se obtiene F ≈ −V″(x₀)ξPor tanto, el término dominante de la fuerza es proporcional al desplazamiento y apunta hacia el equilibrio. Si escribimos k_ef = V″(x₀), el movimiento local se vuelve armónico.

Por eso las mismas matemáticas aparecen en moléculas vibrantes, redes cristalinas, circuitos eléctricos, resonadores acústicos, suspensiones mecánicas y modos normales de sistemas mucho más complejos.

Para un oscilador ideal unidimensional, la ley de Hooke es F = −kx, donde x se mide desde el equilibrio y k es la constante elástica. La segunda ley de Newton da:

m d²x/dt² = −kx, o d²x/dt² + ω²x = 0 con ω = √(k/m).

El signo menos contiene la física: si x es positivo, la aceleración es negativa; si x es negativo, la aceleración es positiva. Cuanto más se desplaza el sistema, mayor es la aceleración restauradora.

Movimiento, período y fase

Una función cuya segunda derivada es menos una constante por ella misma es un seno o un coseno. La solución general es:

x(t) = A cos(ωt + φ)

A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la constante de fase fijada por las condiciones iniciales. La frecuencia ordinaria y el período son:

f = ω/(2π) y T = 2π/ω = 2π√(m/k).

En el oscilador lineal ideal, T no depende de la amplitud. Esta afirmación deja de ser cierta cuando la fuerza restauradora se vuelve apreciablemente no lineal.

Al derivar la posición se obtiene v(t) = −Aω sin(ωt + φ) y a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x.

En x = ±A el oscilador invierte el movimiento: v = 0 y |a| es máxima. En x = 0 la fuerza restauradora y la aceleración se anulan instantáneamente, pero la rapidez es máxima. Por eso un oscilador no se detiene en el equilibrio: la inercia lo hace atravesarlo.

Los valores máximos son v_máx = Aω y a_máx = Aω².

La amplitud indica hasta dónde llega el oscilador. La fase indica en qué punto de su ciclo se encuentra. Dos sistemas pueden tener la misma A y ω y, sin embargo, estar en estados completamente distintos en el mismo instante porque sus fases difieren.

En ondas y osciladores acoplados, las diferencias de fase determinan la interferencia, la transferencia de energía y los patrones colectivos. El oscilador armónico individual es, por tanto, la base matemática que reaparece después en el estudio de las ondas.

Imagine un punto que se mueve uniformemente alrededor de una circunferencia. Proyecte su posición sobre un diámetro. Esa proyección se mueve como x = A cos(ωt + φ): exactamente un movimiento armónico simple.

Esta imagen hace intuitiva la fase. Dos osciladores con la misma frecuencia pero distinto φ son como dos vectores giratorios separados por un ángulo fijo. También explica por qué seno y coseno describen el mismo tipo de movimiento con distintas elecciones del origen temporal.

Energía

Para un oscilador con resorte, la energía potencial elástica es Eₚ = ½kx² y la energía cinética es E꜀ = ½mv². Sin amortiguamiento:

E = E꜀ + Eₚ = ½kA² = constante.

En los puntos de retorno, x = ±A: toda la energía mecánica es potencial y v = 0. En el equilibrio, x = 0: la energía potencial es mínima y la cinética máxima. El oscilador intercambia continuamente ambas formas de energía mientras la energía total permanece constante en el modelo ideal.

Cálculo y resorte vertical

Péndulo y límites de la aproximación

Un péndulo simple obedece a un par restaurador proporcional a sin θ, no a θ. Su ecuación exacta es no lineal. Para ángulos pequeños expresados en radianes, sin θ ≈ θ, lo que conduce a una ecuación armónica y a la conocida aproximación:

T ≈ 2π√(L/g).

A amplitudes mayores, el período aumenta ligeramente. La independencia del período respecto de la amplitud es, por tanto, una propiedad de la aproximación lineal, no una propiedad universal de todo oscilador.

La aproximación falla cuando los términos de orden superior de la fuerza o del potencial dejan de ser despreciables. Entonces la frecuencia puede depender de la amplitud, la forma de onda puede dejar de ser sinusoidal y pueden aparecer nuevos efectos.

Los péndulos de gran amplitud, los resortes muy estirados y muchas vibraciones moleculares reales son anarmónicos. El oscilador armónico es potente precisamente porque constituye la aproximación dominante cerca del equilibrio, no porque toda oscilación sea perfectamente armónica a cualquier amplitud.

Amortiguamiento y resonancia

Los sistemas reales experimentan fricción, resistencia del medio o resistencia eléctrica. Un modelo habitual añade una fuerza dependiente de la velocidad: m x¨ + b x˙ + kx = 0.

Con amortiguamiento débil, el sistema sigue oscilando, pero su amplitud disminuye. Con amortiguamiento crítico, vuelve al equilibrio tan rápido como es posible sin oscilar. Con un amortiguamiento mayor, el régimen sobreamortiguado regresa más lentamente sin atravesar repetidamente el equilibrio.

Estos regímenes explican por qué un diapasón sigue vibrando, una suspensión de automóvil se estabiliza y un cierrapuertas se diseña para no rebotar.

Si actúa una fuerza externa oscilante, la ecuación pasa a ser m x¨ + b x˙ + kx = F₀ cos(ω_dt). Una vez desaparecen los transitorios, el oscilador responde a la frecuencia de excitación ω_d.

La respuesta se vuelve especialmente intensa cuando la excitación se aproxima a la frecuencia natural del sistema: resonancia. El amortiguamiento limita el pico y lo ensancha. La resonancia no es «energía que aparece de la nada»: la excitación aporta energía de forma coherente, ciclo tras ciclo, cuando la sincronización es favorable.

Un oscilador débilmente amortiguado almacena energía durante muchos ciclos. Su factor de calidad Q es grande, su resonancia es estrecha y sus oscilaciones libres decaen lentamente. Un oscilador muy amortiguado tiene un Q menor y una respuesta más ancha.

Esto importa en relojes, instrumentos musicales, sensores, circuitos de radiofrecuencia y cavidades ópticas, donde puede buscarse una resonancia muy selectiva o, deliberadamente, una respuesta poco resonante.

Modos normales y modelo cuántico

Si se representa la velocidad v frente a la posición x, en lugar de representar ambas frente al tiempo, para un oscilador armónico sin amortiguamiento la conservación de E꜀ + Eₚ = ½mv² + ½kx² = E da una elipse en el plano x–v.

El amortiguamiento convierte esa elipse cerrada en una espiral hacia el interior a medida que se pierde energía. Un oscilador forzado de manera sostenida puede aproximarse a una órbita cerrada repetitiva. Las representaciones del espacio de fases revelan así la estabilidad y el comportamiento energético que pueden resultar menos evidentes en una gráfica posición-tiempo.

Cuando se acoplan varios grados de libertad, los pequeños movimientos suelen poder descomponerse en modos normales. En cada modo, todo el sistema oscila a una frecuencia característica con un patrón fijo.

Una cuerda vibrante, una red cristalina y unos péndulos acoplados comparten esta idea. Las ondas pueden entenderse como oscilaciones coordinadas de muchos grados de libertad; en los sólidos, las vibraciones cuantizadas de la red dan lugar a fonones.

En mecánica cuántica el potencial sigue siendo V(x) = ½mω²x², pero la energía no es continua. Los niveles permitidos son:

E_n = (n + ½)ħω, n = 0, 1, 2, …

Los niveles están separados uniformemente por ħω, e incluso el estado fundamental posee energía de punto cero ½ħω. La partícula no puede permanecer simplemente en x = 0 con energía cinética exactamente nula.

Este modelo es central para las vibraciones moleculares, las vibraciones de red, los campos cuánticos y muchos métodos de aproximación. El oscilador armónico clásico no desaparece: reaparece como límite macroscópico de la descripción cuántica.

Experimento y ejercicio

• Una gráfica de aceleración frente a desplazamiento es una recta que pasa por el origen con pendiente negativa: a = −ω²x.
• El período es aproximadamente independiente de la amplitud en el intervalo estudiado.
• La posición es aproximadamente sinusoidal en el tiempo.
• Para un oscilador con resorte, la energía total E꜀ + Eₚ permanece constante si el amortiguamiento es despreciable.

Esto proporciona una prueba experimental del modelo en lugar de basarse solo en la apariencia.

Cambiar la amplitud

Para m = 0,80 kg y k = 50 N m⁻¹, ¿duplicar la amplitud cambia el período ideal? ¿Qué ocurre con v_máx y la energía?