Harmonisk oscillator
Den harmoniska oscillatorn är mer än en fjädermodell. Den är den ledande beskrivningen av ett system som förskjuts lite från en stabil jämvikt. Därför återkommer samma matematik i molekylvibrationer, kristaller, elektriska kretsar, resonatorer och mekaniska system.
Approximation nära jämvikt
En massa på en fjäder är standardbilden, men den djupare orsaken till modellens allmängiltighet är lokal. Om en slät potentiell energi V(x) har ett minimum vid x₀ gäller V′(x₀)=0. För en liten förskjutning ξ=x−x₀ börjar Taylorutvecklingen som V(x)≈V(x₀)+½V″(x₀)ξ². Derivering ger F≈−V″(x₀)ξ: den första icke-noll termen i kraften är proportionell mot förskjutningen och riktad tillbaka mot jämvikten.
Med kₑff=V″(x₀) blir den lokala rörelsen harmonisk. För en ideal fjäder är F=−kx och Newton ger m x¨+kx=0, alltså x¨+ω²x=0 med ω=√(k/m). Minustecknet är fysiken: positiv förskjutning ger negativ acceleration och tvärtom.
Det är därför små molekylvibrationer, gittervibrationer, LC-kretsar, akustiska resonatorer och fjädringssystem kan ha samma matematiska struktur trots olika mikroskopiska mekanismer.
Rörelse, period och fas
Den allmänna lösningen är x(t)=A cos(ωt+φ). A är amplituden, ω vinkelfrekvensen och φ fasen som bestäms av begynnelsevillkoren. T=2π/ω=2π√(m/k) och f=1/T. I den ideala linjära modellen är perioden oberoende av amplituden.
Derivering ger v(t)=−Aω sin(ωt+φ) och a(t)=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x. Vid x=±A är v=0 och |a| maximal; vid x=0 är accelerationen tillfälligt noll men farten maximal. Trögheten bär därför systemet genom jämvikten.
Maxvärdena är vₘax=Aω och aₘax=Aω². Amplituden anger hur långt systemet når, fasen var i cykeln det befinner sig. Två oscillatorer med samma A och ω kan ha olika momentana tillstånd om φ skiljer sig.
En geometrisk bild är projektionen av en likformig cirkelrörelse på en diameter. Projektionen följer x=A cos(ωt+φ). Det gör fasen intuitiv och kopplar den enkla oscillatorn till vågor och kopplade system.
Energi
För en fjäder är U=½kx² och K=½mv². Utan dämpning är E=K+U=½kA² konstant. Vid vändpunkterna är all mekanisk energi potentiell; i jämviktsläget är den kinetiska energin maximal.
Energin växlar kontinuerligt form utan att försvinna. Sambandet ½mv²+½kx²=½kA² gör det också möjligt att bestämma v som funktion av x utan att först lösa hela tidsförloppet.
Beräkning och vertikal fjäder
Genomräknat exempel
En massa på 0,50 kg sitter på en fjäder med k=200 N m⁻¹ och amplituden A=0,040 m. Då är ω=20 rad s⁻¹, T≈0,314 s, vₘax=0,80 m s⁻¹, aₘax=16 m s⁻² och E=0,160 J. En enda modell kopplar samman tidsskala, kinematik och energi.
Vertikal fjäder
Tyngdkraften sträcker en vertikal fjäder tills kxₑq=mg. Det flyttar jämviktsläget. Om ξ mäts från den nya jämvikten är ekvationen fortfarande mξ¨+kξ=0. En ideal vertikal och horisontell fjäder med samma m och k har alltså samma ω: gravitationen flyttar rörelsens centrum, inte småsvängningsfrekvensen.
Pendel och approximationens gränser
En enkel pendel har en återställande term proportionell mot sinθ, inte exakt θ. Den exakta ekvationen är icke-linjär. För små vinklar i radianer gäller sinθ≈θ och den harmoniska approximationen ger T≈2π√(L/g).
Vid större amplituder blir perioden något längre. Amplitudoberoendet är alltså en egenskap hos den linjära approximationen. Pendlar med stora vinklar, kraftigt sträckta fjädrar och många verkliga molekylvibrationer är anharmoniska.
Modellens styrka ligger i ett tydligt giltighetsområde: den är den ledande approximationen nära ett stabilt minimum, inte ett påstående om att varje svängning vid varje amplitud är perfekt harmonisk.
Dämpning och resonans
Verkliga system förlorar energi genom friktion, strömningsmotstånd eller elektriskt motstånd. En standardmodell är m x¨+b x˙+kx=0. Vid svag dämpning fortsätter systemet att svänga med avtagande amplitud; kritisk dämpning ger snabbast återgång utan översvängning; överdämpning ger långsammare återgång utan oscillation.
Med en periodisk kraft blir ekvationen m x¨+b x˙+kx=F₀ cos(ωdt). När transienterna har klingat av svarar systemet vid drivfrekvensen. Nära egenfrekvensen kan energi tillföras koherent cykel efter cykel och den stationära amplituden bli stor: resonans.
Dämpning begränsar toppen och breddar den. Ett högt kvalitetsfaktor Q innebär liten dissipation, smal resonans och långsamt avklingande fria svängningar. Det är viktigt i klockor, instrument, sensorer, radiofrekvenskretsar och optiska kaviteter.
Normalmoder och kvantmodell
I fasplanet x–v beskriver en odämpad oscillator en ellips eftersom ½mv²+½kx²=E. Dämpning gör den slutna kurvan till en inåtgående spiral; ett drivet system kan närma sig en återkommande stationär bana.
När oscillatorer kopplas kan rörelsen delas upp i normalmoder: kollektiva mönster med egna frekvenser. Samma idé leder direkt till vågor i strängar, fasta material och gitter.
I kvantmekaniken har potentialen V=½mω²x² energierna Eₙ=(n+½)ħω. Även grundtillståndet har nollpunktsenergin ½ħω. Modellen används för molekylvibrationer, fononer i fasta material och kvantiserade fält.
Den kvadratiska potentialen förklarar modellens allmängiltighet. Vid ett stabilt minimum försvinner den linjära termen i V och den kvadratiska termen är normalt den första relevanta. Högre potenser ger anharmoniska korrigeringar när förskjutningen inte längre är liten.
Fasen behövs fysiskt för att ange begynnelsevillkoren. Två rörelser kan ha samma amplitud och frekvens och ändå passera samma läge i motsatta riktningar vid t=0. φ skiljer dessa tillstånd åt.
Sambandet a=−ω²x kan testas direkt. En graf över uppmätt acceleration mot läge bör vara en rät linje genom origo med lutningen −ω². Systematisk krökning visar att den återställande kraften inte längre är linjär.
Resonans skapar inte energi. Den externa periodiska kraften utför arbete. När timingen passar tillförs nettoenergi effektivt varje cykel; samtidigt för dämpningen bort energi och bestämmer den slutliga stationära amplituden.
Normalmoder delar upp ett kopplat system med många frihetsgrader i enkla mönster. I varje mode svänger alla delar med samma frekvens och fasta fasrelationer. Komplicerad rörelse kan byggas som en superposition av sådana moder.
I kvantmodellen är avståndet mellan energinivåerna ħω. Nollpunktsenergin ½ħω betyder att grundtillståndet inte motsvarar en klassisk partikel som står helt still exakt i minimum.
Energibilden markerar också kvartperioderna: vid en vändpunkt är K=0 och U=E; efter T/4 är x=0 och K=E; efter T/2 nås den motsatta vändpunkten. Den regelbundna energiväxlingen bär samma fasinformation som x(t), v(t) och a(t).
I ett dämpat system är √(k/m) inte hela frekvenshistorien. Svag dämpning ger en observerad svängningsfrekvens något under den odämpade egenfrekvensen, medan kritisk och överkritisk dämpning kan ta bort oscillationen helt. Idealmodellen fungerar därför som en tydlig referens för verkliga förluster.
Experiment och övning
Modellen kan prövas experimentellt: a mot x bör ge en rät linje med negativ lutning; perioden bör vara nästan konstant vid små amplituder; x(t) bör vara ungefär sinusformad; och K+U bör vara konstant när förlusterna är små.
Ändra amplituden
En massa på 0,80 kg svänger på en fjäder med 50 N m⁻¹. Vad händer med T, vₘax och E när amplituden fördubblas?
Lösning
T=2π√(0,80/50)≈0,795 s och ändras inte i idealmodellen. vₘax fördubblas. E=½kA² blir fyra gånger så stor.