Гармонічний осцилятор
Гармонічний осцилятор — модель системи, де відновлювальна сила пропорційна зміщенню і спрямована до рівноваги: F = −kx. Через це рух є синусоїдальним, а енергія періодично переходить між кінетичною і потенціальною формами.
Рівняння руху
Другий закон Ньютона дає m d²x/dt² = −kx. Розв’язок має форму x = A cos(ωt + φ), де ω = √(k/m). Амплітуда A і фаза φ визначаються початковими умовами, а частота в ідеальній моделі не залежить від амплітуди.
Швидкість і прискорення
Швидкість зсунута за фазою відносно зміщення і найбільша біля рівноваги. Прискорення a = −ω²x найбільше за модулем у крайніх положеннях і завжди спрямоване назад до рівноваги.
Енергія
Пружинна потенціальна енергія U = kx²/2, кінетична K = mv²/2. Без тертя їхня сума стала. У крайній точці вся механічна енергія потенціальна, а в положенні рівноваги — максимально кінетична.
Період
Період пружинного осцилятора T = 2π√(m/k). Більша маса робить коливання повільнішими, жорсткіша пружина — швидшими. Для ідеальної пружини амплітуда не входить у цю формулу.
Малі коливання
Багато систем, які не є буквально пружинами, поблизу стійкої рівноваги поводяться приблизно гармонічно. Якщо потенціальна енергія має гладкий мінімум, її можна розкласти в ряд, і квадратичний член часто домінує для малих відхилень.
Затухання і зовнішня сила
Реальні осцилятори втрачають енергію, тому амплітуда з часом зменшується. Періодична зовнішня сила може підтримувати коливання і створювати резонанс. Таким чином простий гармонічний осцилятор є основою для більш реалістичних моделей затухання та вимушеного руху.
Квантовий зв’язок
У квантовій механіці гармонічний осцилятор має дискретні рівні енергії Eₙ = ħω(n + 1/2). Навіть основний стан має нульову енергію. Ця модель описує наближено коливання молекул, моди кристалічної ґратки та багато полів поблизу стабільної рівноваги.
Фазовий простір
Стан ідеального осцилятора можна зобразити точкою на площині “зміщення–швидкість”. За відсутності втрат ця точка рухається по замкненій еліптичній траєкторії, що відповідає сталій енергії. При затуханні траєкторія спірально наближається до рівноваги. Така картина корисна, бо показує весь цикл одним геометричним об’єктом і готує до аналізу складніших динамічних систем.
Приклад молекулярного коливання
Поблизу рівноважної довжини хімічного зв’язку потенціальна енергія часто приблизно параболічна, тому два атоми можна моделювати як маси на пружині. Частота залежить від ефективної жорсткості зв’язку та зведеної маси атомів. Саме тому ізотопне заміщення змінює коливальні частоти в інфрачервоних спектрах, навіть якщо електронна структура зв’язку майже не змінюється.
Вправа
Пружина з k = 100 Н/м несе масу 1,0 кг. Який період малих коливань?
Розв’язання
T = 2π√(m/k) = 2π√(1/100) = 0,2π ≈ 0,63 с.