Гармонічний осцилятор
Простий гармонічний осцилятор — базова лінійна модель малих коливань біля стійкої рівноваги. Відновлювальна сила пропорційна зміщенню і протилежна йому, тому без втрат рух є синусоїдальним.
Інтерактивний розрахунок
Модель і ключове співвідношення
Закон Гука має вигляд F=−kx. Разом із другим законом Ньютона він дає x¨+ω²x=0, де ω=√(k/m), а T=2π√(m/k).
Співвідношення потрібно читати разом із його припущеннями. Одиниці SI, напрями векторів і вибір системи відліку — не формальність: вони визначають, яку величину насправді обчислюємо і чи можна застосовувати формулу без додаткових членів.
Фізичний зміст
Кінетична та пружна потенціальна енергії безперервно перетворюються одна в одну. Без загасання E=½mv²+½kx² стала і за амплітуди A дорівнює ½kA².
Фізична картина корисніша за механічне запам’ятовування формули. Варто з’ясувати, яка величина переносить енергію або імпульс, яка взаємодія створює відгук і яка симетрія дає змогу спростити задачу. Тоді знак і порядок величини набувають чіткого змісту.
Що змінює результат
Збільшення маси подовжує період, а збільшення жорсткості пружини скорочує його. В ідеальній лінійній моделі період не залежить від амплітуди.
Добра кількісна перевірка починається з пропорцій. Якщо довжину подвоїти, змінити масу або посилити поле, рівняння одразу показує лінійну, квадратичну чи обернену залежність. Це сильний тест здорового глузду ще до підстановки чисел.
Межі застосовності та вимірювання
Загасання відводить механічну енергію і зменшує амплітуду з часом. Періодична зовнішня сила приводить до вимушених коливань і резонансу.
Реальні системи мають втрати, неоднорідності та межі масштабу. Результат вимірювання слід розглядати разом із невизначеністю та перевіряти, чи зберігає ідеальна модель достатню точність. Невелике відхилення може бути природним наслідком наближення, а не помилкою обчислення.
Інтерпретація і застосування
Багато реальних систем близькі до гармонічних лише за малих відхилень. Поблизу стійкого мінімуму потенціальної енергії перший істотний член зазвичай квадратичний.
У практичній задачі відповідь перевіряють за розмірністю, знаком і граничною поведінкою. Коли параметр прямує до нуля або стає дуже великим, передбачення має залишатися фізично розумним. Така перевірка часто знаходить помилку швидше, ніж повторення всієї арифметики.
Задачі з розв’язаннями
Задача 1
Обчисліть: використайте T=2π√(m/k). Дано: m=0,50 kg, k=200 N·m⁻¹.
Розв’язання: T≈0,314 s
Задача 2
Обчисліть: використайте T=2π√(m/k). Дано: m=2,0 kg, k=50 N·m⁻¹.
Розв’язання: T≈1,26 s
Задача 3
Обчисліть: використайте T=2π√(m/k). Дано: m → 4m.
Розв’язання: T → 2T