Viscositat
La viscositat mesura fins a quin punt un fluid s’oposa al cisallament: capes veïnes que es mouen a velocitats diferents s’arrosseguen mútuament. És per això que la mel flueix amb més dificultat que l’aigua i que un flux real en una canonada dissipa energia mecànica.
Viscositat dinàmica i cisallament
Per a un fluid newtonià, τ = η(du/dy). η és la viscositat dinàmica i la seva unitat SI és Pa·s. La viscositat cinemàtica és ν = η/ρ, en m² s⁻¹.
Flux laminar en un tub
Per a un fluid newtonià en un tub cilíndric llarg, amb flux laminar plenament desenvolupat i condició de no lliscament, la llei de Poiseuille dona Q = πΔp r⁴/(8ηL). La dependència r⁴ és molt forta: petits canvis de radi poden modificar molt el cabal.
Explorador del radi
Si Δp, η i L es mantenen constants, el factor de cabal relatiu és (r/r₀)⁴.
Arrossegament viscós a nombres de Reynolds petits
Per a una esfera petita que es mou lentament en un fluid, la llei de Stokes és Fd = 6πηrv. Si cau sota la gravetat, la velocitat terminal apareix quan pes, empenta i arrossegament s’equilibren.
El nombre de Reynolds Re = ρvD/η compara efectes inercials i viscosos. Re petit afavoreix flux ordenat i dominat per la viscositat; la transició a turbulència depèn de la geometria i no té un únic llindar universal.
La temperatura modifica la viscositat
En molts líquids, η disminueix fortament quan la temperatura puja perquè les molècules poden reorganitzar-se amb més facilitat. En els gasos, la viscositat acostuma a augmentar amb la temperatura perquè el transport de quantitat de moviment entre capes es fa més eficient.
Per això no és correcte identificar viscositat simplement amb “espessor”: és una propietat de transport amb dependència de temperatura i, en alguns materials, de la velocitat de deformació.
No tots els fluids són newtonians
En un fluid newtonià, η no depèn del gradient de cisallament en el rang considerat. Pintures, suspensions, polímers o sang poden presentar aprimament o espessiment per cisallament, i alguns fluids depenen també de la història de deformació.
Abans d’aplicar Poiseuille o Stokes cal comprovar que el règim de flux, la geometria i el comportament reològic encaixin amb les hipòtesis.
La condició de no lliscament significa que, en el model continu habitual, el fluid en contacte amb una paret sòlida adopta la velocitat de la paret. Això crea gradients de velocitat dins del fluid i, per tant, esforços viscosos. En una canonada fixa, el perfil ha de passar de zero a la paret a un màxim prop de l’eix.
La llei de Poiseuille és especialment sensible al radi perquè el factor és r⁴. Doblar r multiplica Q per setze només si Δp, η i L es mantenen i si el règim continua sent laminar i plenament desenvolupat. Si el canvi de radi altera el règim, la fórmula deixa de ser una descripció completa.
El nombre de Reynolds és una guia de règim, no una etiqueta absoluta. En geometries diferents, amb rugositat o pertorbacions diferents, la transició pot aparèixer en condicions diferents. El seu valor conceptual és comparar el paper relatiu de la inèrcia amb la difusió viscosa de quantitat de moviment.
La velocitat terminal no significa que les forces hagin desaparegut. Significa que la suma de forces és zero: el pes queda compensat per l’empenta i l’arrossegament. L’objecte continua movent-se perquè una velocitat constant no requereix força neta, només acceleració nul·la.
Exemples resolts
Esforç tallant
η = 0,80 Pa·s i du/dy = 3,0 s⁻¹. Troba τ.
Solució
τ = 0,80 × 3,0 = 2,4 Pa.
Canvi del radi del tub
En flux de Poiseuille ideal, el radi es duplica mantenint la resta constant. Com canvia Q?
Solució
Q ∝ r⁴, de manera que Q′/Q = 2⁴ = 16.
Arrossegament de Stokes
Una esfera de radi 1,0 mm es mou a 0,020 m s⁻¹ en un fluid de η = 0,50 Pa·s.
Solució
Fd = 6π(0,50)(0,0010)(0,020) ≈ 1,88 × 10⁻⁴ N, sota la hipòtesi de flux reptant.